إذا بدأ بالعدد 5 فإن الأعداد القابلة للقسمة على (5) بدون باقي هي .... 5,10,15 ما مجموع أول (30) عدداً منها.

$\begin{array}{rl}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =\frac{3\mathrm{Q}}{2}\left[\right(2\times 5)+(30-1)\times 5]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =15\times [10+(29)\times 5]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =15\times [10+145]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =15\times \left[155\right]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =2325\end{array}$

تمارين (2-2)

(1)- لكل مما يأتي أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة.

اختر الجواب الصحيح

أ) المتتابعة $⟨10-5\mathrm{n}⟩$

• أساسها (5) وحدها العاشر = 40-
• أساسها (5-) وحدها العاشر = 40
• أساسها (5) وحدها العاشر = 40-
• ليس أياً مما ذكر.

ب) إذا كانت <9,11,13 , x , y , ...> متتابعة حسابية فإن:

• Y=-7,X=-5
• Y=-7,X=5
• Y=7,X=-5
• Y=7,X=5

(2)- جد الحد الثالث عشر من المتتابعة <... ,4,4,12- >

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩& =⟨-4,4,12,\dots ⟩\\ \mathrm{d}& =4-(-4)=8=\\ \mathrm{d}& =12-4=8\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\cdot \mathrm{d}\to {\mathrm{U}}_{13}=\mathrm{a}+(13-1)\cdot \mathrm{d}\\ & {\mathrm{U}}_{13}=-4+\left(12\right)\times 8\\ & {\mathrm{U}}_{13}=-4+96=92\end{array} \end{gathered}$$

(3)- جد عدد الحدود والأساس للمتتابعة المنتهية التي حدها الأول = 9 وحدها الأخير = 6- ومجموع حدودها =24.

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[\right(9)+(-6\left)\right]\\ & 24=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[3\right]\to 24=\frac{3\mathrm{n}}{2}\to 3\mathrm{n}=48\\ & 3\mathrm{n}=\frac{48}{3}=16\\ & {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\cdot \mathrm{d}\to -6=9+(16-1)\cdot \mathrm{d}\\ & -6=9+15\mathrm{d}\to 15\mathrm{d}=-9-6\\ & 15\mathrm{d}=-15\to \mathrm{d}=\frac{-15}{15}=-1\\ & {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\cdot \mathrm{d}\to -6=9+(\mathrm{n}-1)\cdot \mathrm{d}\\ & -6=9+(\mathrm{n}-1)\cdot (-1)\to -6=9-\mathrm{n}+1\\ & \mathrm{n}=9+1+6=16\to \mathrm{n}=100\end{array}$

(4)- جد عدد الأعداد الصحيحة المحصورة بين (100)، (1000) والتي تقبل القسمة على (12) بدون باق ثم جد مجموعها.

$$\begin{gathered} ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨108,120,132,\dots ,996⟩ \\ \mathrm{d}=120-108=12 , \mathrm{a}=108 , \mathrm{n}=? \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\cdot \mathrm{d}\to 996=108+(\mathrm{n}-1)\cdot \left(12\right)\\ & 996=108+12\mathrm{n}-12\to 996=96+12\mathrm{n}\\ & 12\mathrm{n}=996-96\to 12\mathrm{n}=900\\ & \mathrm{n}=\frac{900}{\mathrm{n}}=75\to \mathrm{n}=75\end{array} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\to {\mathrm{S}}_{75}=\frac{75}{2}\left[\right(108)+(996\left)\right] \\ {\mathrm{S}}_{75}=\frac{75\times 1104}{2}=\frac{82800}{2}=41400 \end{gathered}$$

(5)- رتبت مقاعد قاعة في (25) صفاً يحتوي الصف الأول على (20) مقعداً والثاني على (21) مقعداً والثالث على (22) مقعداً فما عدد المقاعد في القاعة؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\cdot \mathrm{d}]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{25}{2}\left[\right(2\times 20)+(25-1)\cdot 1]\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{25}{2}(40+24)=\frac{25}{2}\times 64=25\times 32=800\end{array}$

(6)- جد مجموع الأعداد الصحيحة غير السالبة التي أقل من (500).

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{500}{2}[0+499]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=250\times \left[499\right] \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=124750 \end{gathered}$$

(7)- اكتب الحدود الستة الأولى للمتتابعة الحسابية التي حدها الأول = 7 وأساسها 4- = d ثم جد حدها الخامس عشر ومجموع الحدود العشرة الثانية منها.

الحدود الستة الأولى:

$$\begin{gathered} {\mathrm{U}}_1=\mathrm{a}=7 \\ {\mathrm{U}}_2=\mathrm{a}+\mathrm{d}=7+(-4)=3 \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_3=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}=7+(3-1)(-4)=7-(2\times 4)=-1\text{للمتتابعت}\\ & ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨7,3,-1,-5,-9,-13,\dots ⟩\end{array} \end{gathered}$$

الحد الخامس عشر:

${\mathrm{U}}_{15}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}=7+\left(14\right)(-4)=-49$

مجموع حدود العشرة الثانية:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_{11},{\mathrm{U}}_{12},{\mathrm{U}}_{13},{\mathrm{U}}_{14},{\mathrm{U}}_{15},{\mathrm{U}}_{16},{\mathrm{U}}_{17},{\mathrm{U}}_{18},{\mathrm{U}}_{19},{\mathrm{U}}_{20}\\ & {\mathrm{U}}_{11}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}=7+\left(10\right)(-4)=-33\\ & {\mathrm{U}}_{20}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}=7+\left(19\right)(-4)=7-76=-69\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{7^5}{2}[-33-69]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=5\times [-102]\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=-510\end{array}$

(8)- ضع ثمانية أعداد صحيحة بين 38 ,2 لتتكون لديك متتابعة حسابية حدها الأول = 38 وحدها الأخير = 2 ثم جد مجموع هذه الأعداد.

$$\begin{gathered} \mathrm{n}=8+2=10 \\ \begin{array}{rl}{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\to 38& =2+(10-1)\mathrm{d}\\ -2+38& =-2+2+9\mathrm{d}\\ 9\mathrm{d}& =38-2\\ \mathrm{d}& =\frac{36}{9}=4\end{array} \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨2,6,10,14,18,22,26,30,34,38⟩ \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{t}}^6}{2}[2+38]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=5\times \left[40\right] \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=200 \end{gathered}$$

(9)- إذا بدأ بالعدد 5 فإن الأعداد القابلة للقسمة على (5) بدون باقي هي .... 5,10,15 ما مجموع أول (30) عدداً منها.

$\begin{array}{rl}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =\frac{3\mathrm{Q}}{2}\left[\right(2\times 5)+(30-1)\times 5]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =15\times [10+(29)\times 5]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =15\times [10+145]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =15\times \left[155\right]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =2325\end{array}$

(10)- كم من الأعداد يجب أن تأخذ من المتتابعة <... , 1,2,3,4> لتحصل على مجموع يساوي (5050)؟

$\begin{array}{rl}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\to 5050& =\frac{\mathrm{n}}{2}\left[\right(2\times 1)+(\mathrm{n}-1)\times 1]\\ 5050& =\frac{\mathrm{n}}{2}[2+\mathrm{n}-1]\to 5050=\frac{\mathrm{n}}{2}[1+\mathrm{n}]\\ 5050& =\frac{\mathrm{n}(1+\mathrm{n})}{2} \to 5050=\frac{\mathrm{n}+{\mathrm{n}}^2}{2}\end{array}\begin{array}{}\\ \\ \\ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2\times 5050=\mathrm{n}+{\mathrm{n}}^2\\ & {\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}-10100=0\\ & (\mathrm{n}-100)(\mathrm{n}+101)=0\\ & (\mathrm{n}+101)=0\to \mathrm{n}=-101 \notin \mathrm{N}\\ & (\mathrm{n}-100)=0\to \mathrm{n}=100\end{array}$

(11)- جد عدد حدود المتتابعة <61, ... , 14-,17-,20-> ثم جد مجموع حدودها.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{d}=-20-(-17)=-20+17=-3\\ & \mathrm{d}=-17-(-14)=-17+14=-3\end{array} \\ {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=61 , \mathrm{a}=-20 \\ \begin{array}{r}{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\to 61=-20+(\mathrm{n}-1)\times 3\\ 61+3=-20+3\mathrm{n}-3+3\\ 3\mathrm{n}=61+23\\ \mathrm{n}=\frac{84}{3}=28\end{array} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{28}{2}[-20+61]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=14\times \left[41\right] \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=574 \end{gathered}$$

(12)- جد المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس = 8 وحدها الثامن عشر = 31- ثم جد مجموع الحدود العشرة الأولى منها.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{U}}_5=\mathrm{a}+4\mathrm{d}\\ & 8=\mathrm{a}+4\mathrm{d}\\ & {\mathrm{U}}_{18}=\mathrm{a}+17\mathrm{d}\\ & -31=\mathrm{a}+17\mathrm{d}\\ & 8=\mathrm{a}+4\mathrm{d}\\ & \mp 31=\mp \mathrm{a}\ne 17\mathrm{d}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 39=-13\mathrm{d}\\ & \mathrm{d}=\frac{39}{-13}=-3\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 8=\mathrm{a}+4\mathrm{d}-\\ & 8=\mathrm{a}+\left(4\right)(-3)\\ & \mathrm{a}=8+12=20\end{array} \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨20,17,14,\dots .⟩ \\ \begin{array}{rl}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\to {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =\frac{10}{2}\left[\right(2\times 20)+(10-1)\times (-3\left)\right]\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}& =\frac{10}{\mathrm{b}}[40-27]\end{array} \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=5\times \left[13\right]\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=65\end{array} \end{gathered}$$

(13)- أدخل عشرة أوساط حسابية بين 3,36

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\Rightarrow 36=3+(12-1)\mathrm{d}\\ -3+36=-3+3+11\mathrm{d}\\ 11\mathrm{d}=36-3\\ \mathrm{d}=\frac{33}{11}=3\end{array} \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36⟩ \end{gathered}$$

(14)- متتابعة حسابية حدها الثاني = 71- وحدها ما قبل الأخير = 3- ومجموع حدودها = 740- جد المتتابعة.

$$\begin{gathered} \mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}+({\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}-1) \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}]\mathrm{\epsilon a}⩾11\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[{\mathrm{U}}_2+({\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}-1)]\\ & 740=\frac{\mathrm{n}}{2}[-71-3]\\ & 740=\frac{\mathrm{n}}{2}[-74]\\ & \mathrm{n}=\frac{-740}{-37}=20\\ & \begin{array}{rl}{\mathrm{U}}_2=\mathrm{a}+\mathrm{d}& \to -71=\mathrm{a}+\mathrm{d}\end{array}\end{array} \\ \begin{array}{rl}{\mathrm{U}}_{19}=\mathrm{a}+18\mathrm{d}\to -31& =\mathrm{a}+17\mathrm{d}\\ -71& =\mathrm{a}+\mathrm{d}\\ \mp 3& =\mp \mathrm{a}\mp 18\mathrm{d}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -68=-17\mathrm{d}\\ & \mathrm{d}=\frac{-68}{-17}=4\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -71=\mathrm{a}+4\mathrm{d}\\ & -71=\mathrm{a}+\left(4\right)\times \left(1\right)\\ & \mathrm{a}=\times 71-4=-75\end{array} \\ ⟨{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}⟩=⟨-75,-71,-67,\dots .,-3,1⟩ \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=75 \end{gathered}$$