حلول الأسئلة

السؤال

إذا كانت:

$B = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] A = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

فأثبت أن $A \times B = B \times A = I$ لاحظ أن $A \times B$ كل منها النظير الضربي للآخر.

الحل

$L . S = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I R . S = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (2-9)

(1)- إذا كانت:

$A = [\begin{array}{ll} 0 1 \\ 1 0 \end{array}] B = [\begin{array}{rr} 0 - 1 \\ 1 0 \end{array}] C = [\begin{array}{rr} 1 0 \\ 0 - 1 \end{array}]$

فجد:

أ- $A x B$

$A \times B = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \times [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = C$

ب- $A x C$

$A \times C = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = B$

ج- $B x C$

$B \times C = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = A$

د- $B x A$

$B \times A = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

هـ- $C x A$

$C \times A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

و- $C x B$

$C \times B = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

ز- $(A \times B) \times C$

$(A \times B) \times C = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I$

ح- $A \times (B \times C)$

$A \times (B \times C) = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I$

(2)- إذا كانت A, B, C كما في التمرين السابق وكانت I مصفوفة الوحدة فأثبت أن:

أ- $A \times B = - (B \times A)$

$[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = - [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 1 \\ 1 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 1 \\ 1 0 \end{array}] = - [\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}]$

الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.

ب- $A^{2} = C^{2} = I$

$\begin{aligned} A^{2} = A \times A = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I \\ C^{2} = C \times C = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I \end{aligned}$

ج- $B^{2} = - I$

$\begin{aligned} B^{2} = B \times B = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] \\ - I = - [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = \end{aligned}$

الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.

د- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

$\begin{aligned} ([\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}]) [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I \\ [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I \end{aligned}$

الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.

(3)- إذا كانت A مصفوفة 2 × 3 وB مصفوفة 3 × 3 وC مصفوفة 3 × 4 وD مصفوفة 2 × 3، فبين نوع كل من المصفوفات الآتية:

أ- $A x B$

تكون المصفوفة بقدر صفوف A وأعمدة B أي 3×2.

ب- $D x A$

تكون المصفوفة بقدر صفوف D وأعمدة A أي 3×3.

ج- $A x D$

تكون المصفوفة بقدر صفوف A وأعمدة B أي 2×2.

د- $C x B$

تكون المصفوفة بقدر صفوف C وأعمدة B أي 3×4.

هـ- $B x D$

تكون المصفوفة بقدر صفوف B وأعمدة D أي 2×3.

و- $D \times (A \times B)$

تكون المصفوفة بقدر صفوف D وأعمدة (A×B) أي 3×3.

ز- $(C \times B) \times D$

تكون المصفوفة بقدر صفوف (C×B) وأعمدة D أي 2×4.

ح- $(A \times D) \times A$

تكون المصفوفة بقدر صفوف (D×A) وأعمدة A أي 3×3.

(4)- أجر عملية الضرب فيما يأتي، إن أمكن واذكر السبب في حالة تعذر إجراء عملية الضرب:

أ- $[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \end{array}]$

$[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}] [\begin{array}{lll} 2 & - 1 & 2 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 6 & - 3 & 6 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ب- $[\begin{array}{ccc} - 2 & 1 & 6 \end{array}] [\begin{array}{l} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{array}]$

$[\begin{array}{lll} - 2 & 1 & 6 \end{array}] [\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{array}{ll} 10 + 0 + 18 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 2 & 8 \end{array}]$

ج- $[\begin{array}{cc} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$[\begin{matrix} - 1 3 \\ 0 1 \\ 2 4 \end{matrix}] [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 & 3 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 8 & 4 & 12 \end{array}]$

د- $[\begin{array}{llll} 2 & - 1 & 8 & 0 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}]$

غير ممكنة لأن عدد أعمدة الأولى لا يساوي عدد صفوف الثانية.

هـ- $[\begin{array}{rrr} - 1 & - 3 & 2 \\ 5 & 3 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 9 & 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 \end{array}]$

غير ممكنة لأن عدد أعمدة الأولى لا يساوي عدد صفوف الثانية.

و- $[\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

$[\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cccc} - 3 & 4 & - 2 & 3 \\ 1 & - 3 & 1 & - 3 \end{array}]$

ز- $[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}]$

غير ممكنة لأن عدد أعمدة الأولى لا يساوي عدد صفوف الثانية.

ح- $[\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}]$

$[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} - 8 & 2 & - 2 \\ - 14 & 9 & 38 \end{array}]$

(5)- إذا كانت:

$C = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

بين صحة أو خطأ كل من العبارات الآتية مع ذكر السبب:

أ- $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

$L . S = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] ([\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]) = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}] R . S = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}]$

صحيحة لأن عملية الضرب توزيعية على الجمع.

ب- $(B + C) \times A = B \times A + C \times A$

$\begin{aligned} L . S = ([\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]) [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 2 & 6 \\ 0 & 0 \end{array}] \\ R . S = ([\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]) + (\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]) = [\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ - 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 2 & 6 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}$

صحيحة لأن عملية الضرب توزيعية على الجمع.

ج- $A \times (B + A) = A \times B + A^{2}$

$L . S = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]) = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & 9 \\ 1 & 12 \end{array}] R . S = ([\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]) + (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]) = [\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{cc} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & 9 \\ 1 & 12 \end{array}]$

صحيحة لأن عملية الضرب توزيعية على الجمع.

د- $A \times (B + C) = B \times A + C \times A$

$\begin{aligned} L . S = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] ([\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]) = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}] \\ R . S = ([\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]) + ([\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]) = [\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ - 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 2 & 6 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}$

خاطئة لأن عملية الضرب المصفوفات غير إبدالية.

هـ- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

$L . S = (\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}], [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 2 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & - 2 \\ 1 & - 3 \end{array}] R . S = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] ([\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]) = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & - 2 \\ 1 & - 3 \end{array}]$

صحيحة لأن عملية الضرب تجميعية.

(6)- إذا كانت:

$B = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] A = [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}]$

فأثبت أن:

أ- $A^{2} - 2 A - 3 I = 0$

$\begin{aligned} L . S & = [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}] [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}] - 2 [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{cc} 2 & - 4 \\ 0 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{cc} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] = 0 R.S \end{aligned}$

ب- $B^{2} - B + I = 0$

$\begin{aligned} L . S & = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] - 2 [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ - 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{cc} - 2 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] = 0 R.S \end{aligned}$

ج- $A \times B \neq B \times A$

$L . S = [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 3 & 1 \\ - 3 & 3 \end{array}] R . S = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 1 & 5 \\ 1 & 1 \end{array}]$

(7)- إذا كانت:

$B = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] A = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

فأثبت أن $A \times B = B \times A = I$ لاحظ أن $A \times B$ كل منها النظير الضربي للآخر.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

إذا كانت:

$B = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] A = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

فأثبت أن $A \times B = B \times A = I$ لاحظ أن $A \times B$ كل منها النظير الضربي للآخر.

الحل

تمارين (2-9)

(1)- إذا كانت:

$A = [\begin{array}{ll} 0 1 \\ 1 0 \end{array}] B = [\begin{array}{rr} 0 - 1 \\ 1 0 \end{array}] C = [\begin{array}{rr} 1 0 \\ 0 - 1 \end{array}]$

فجد:

أ- $A x B$

$A \times B = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \times [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = C$

ب- $A x C$

$A \times C = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = B$

ج- $B x C$

$B \times C = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = A$

د- $B x A$

$B \times A = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

هـ- $C x A$

$C \times A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

و- $C x B$

$C \times B = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

ز- $(A \times B) \times C$

$(A \times B) \times C = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I$

ح- $A \times (B \times C)$

$A \times (B \times C) = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = I$

(2)- إذا كانت A, B, C كما في التمرين السابق وكانت I مصفوفة الوحدة فأثبت أن:

أ- $A \times B = - (B \times A)$

الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.

ب- $A^{2} = C^{2} = I$

ج- $B^{2} = - I$

الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.

د- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.

(3)- إذا كانت A مصفوفة 2 × 3 وB مصفوفة 3 × 3 وC مصفوفة 3 × 4 وD مصفوفة 2 × 3، فبين نوع كل من المصفوفات الآتية:

أ- $A x B$

تكون المصفوفة بقدر صفوف A وأعمدة B أي 3×2.

ب- $D x A$

تكون المصفوفة بقدر صفوف D وأعمدة A أي 3×3.

ج- $A x D$

تكون المصفوفة بقدر صفوف A وأعمدة B أي 2×2.

د- $C x B$

تكون المصفوفة بقدر صفوف C وأعمدة B أي 3×4.

هـ- $B x D$

تكون المصفوفة بقدر صفوف B وأعمدة D أي 2×3.

و- $D \times (A \times B)$

تكون المصفوفة بقدر صفوف D وأعمدة (A×B) أي 3×3.

ز- $(C \times B) \times D$

تكون المصفوفة بقدر صفوف (C×B) وأعمدة D أي 2×4.

ح- $(A \times D) \times A$

تكون المصفوفة بقدر صفوف (D×A) وأعمدة A أي 3×3.

(4)- أجر عملية الضرب فيما يأتي، إن أمكن واذكر السبب في حالة تعذر إجراء عملية الضرب:

أ- $[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \end{array}]$

$[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}] [\begin{array}{lll} 2 & - 1 & 2 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 6 & - 3 & 6 \\ 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ب- $[\begin{array}{ccc} - 2 & 1 & 6 \end{array}] [\begin{array}{l} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{array}]$

$[\begin{array}{lll} - 2 & 1 & 6 \end{array}] [\begin{matrix} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{array}{ll} 10 + 0 + 18 \end{array}] = [\begin{array}{ll} 2 & 8 \end{array}]$

ج- $[\begin{array}{cc} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

$[\begin{matrix} - 1 3 \\ 0 1 \\ 2 4 \end{matrix}] [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 1 & 3 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 8 & 4 & 12 \end{array}]$

د- $[\begin{array}{llll} 2 & - 1 & 8 & 0 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}]$

غير ممكنة لأن عدد أعمدة الأولى لا يساوي عدد صفوف الثانية.

هـ- $[\begin{array}{rrr} - 1 & - 3 & 2 \\ 5 & 3 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 9 & 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 \end{array}]$

غير ممكنة لأن عدد أعمدة الأولى لا يساوي عدد صفوف الثانية.

و- $[\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

$[\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cccc} - 3 & 4 & - 2 & 3 \\ 1 & - 3 & 1 & - 3 \end{array}]$

ز- $[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}]$

غير ممكنة لأن عدد أعمدة الأولى لا يساوي عدد صفوف الثانية.

ح- $[\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}]$

$[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{ccc} - 8 & 2 & - 2 \\ - 14 & 9 & 38 \end{array}]$

(5)- إذا كانت:

$C = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

بين صحة أو خطأ كل من العبارات الآتية مع ذكر السبب:

أ- $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

صحيحة لأن عملية الضرب توزيعية على الجمع.

ب- $(B + C) \times A = B \times A + C \times A$

صحيحة لأن عملية الضرب توزيعية على الجمع.

ج- $A \times (B + A) = A \times B + A^{2}$

صحيحة لأن عملية الضرب توزيعية على الجمع.

د- $A \times (B + C) = B \times A + C \times A$

خاطئة لأن عملية الضرب المصفوفات غير إبدالية.

هـ- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

صحيحة لأن عملية الضرب تجميعية.

(6)- إذا كانت:

$B = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] A = [\begin{array}{cc} - 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{array}]$

فأثبت أن:

أ- $A^{2} - 2 A - 3 I = 0$

ب- $B^{2} - B + I = 0$

ج- $A \times B \neq B \times A$

(7)- إذا كانت:

$B = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] A = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

حلول الأسئلة

إذا كانت:

B = [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] A = [ 1 1 − 1 1 ]

فأثبت أن A × B = B × A = I لاحظ أن A × B كل منها النظير الضربي للآخر.

مشاركة الحل

تمارين (2-9)

(1)- إذا كانت:

A=0 11 0 B=0 −11 0 C=1 00 −1

فجد:

أ- A x B

ب- A x C

ج- B x C

د- B x A

هـ- C x A

و- C x B

ز- (A×B)×C

ح- A×(B×C)

(2)- إذا كانت A, B, C كما في التمرين السابق وكانت I مصفوفة الوحدة فأثبت أن:

أ- A×B=−(B×A)

ب- A2=C2=I

ج- B2=−I

د- (A×B)×C=A×(B×C)

(3)- إذا كانت A مصفوفة 2 × 3 وB مصفوفة 3 × 3 وC مصفوفة 3 × 4 وD مصفوفة 2 × 3، فبين نوع كل من المصفوفات الآتية:

أ- A x B

ب- D x A

ج- A x D

د- C x B

هـ- B x D

و- D×(A×B)

ز- (C×B)×D

ح- (A×D)×A

(4)- أجر عملية الضرب فيما يأتي، إن أمكن واذكر السبب في حالة تعذر إجراء عملية الضرب:

أ- [310][2−12]

ب- [−216][−503]

ج- [−130124][204111]

د- [2−180][214]

هـ- [−1−32536][9102−45]

و- [1−2−11][12032−110]

ز- [1−23014−321][1−23456]

ح- [1−23456][1−23014−321]

(5)- إذا كانت:

C=[0110] B=[01−10] A=[1213]

بين صحة أو خطأ كل من العبارات الآتية مع ذكر السبب:

أ- A×(B+C)=A×B+A×C

ب- (B+C)×A=B×A+C×A

ج- A×(B+A)=A×B+A2

د- A×(B+C)=B×A+C×A

هـ- (A×B)×C=A×(B×C)

(6)- إذا كانت:

فأثبت أن:

أ- A2−2A−3I=0

ب- B2−B+I=0

ج- A×B≠B×A

(7)- إذا كانت:

فأثبت أن A×B=B×A=I لاحظ أن A×B كل منها النظير الضربي للآخر.

مشاركة الدرس

إذا كانت:

B = [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] A = [ 1 1 − 1 1 ]

فأثبت أن A × B = B × A = I لاحظ أن A × B كل منها النظير الضربي للآخر.

تمارين (2-9)

(1)- إذا كانت:

A=0 11 0 B=0 −11 0 C=1 00 −1

فجد:

أ- A x B

ب- A x C

ج- B x C

د- B x A

هـ- C x A

و- C x B

ز- (A×B)×C

ح- A×(B×C)

(2)- إذا كانت A, B, C كما في التمرين السابق وكانت I مصفوفة الوحدة فأثبت أن:

أ- A×B=−(B×A)

ب- A2=C2=I

ج- B2=−I

د- (A×B)×C=A×(B×C)

(3)- إذا كانت A مصفوفة 2 × 3 وB مصفوفة 3 × 3 وC مصفوفة 3 × 4 وD مصفوفة 2 × 3، فبين نوع كل من المصفوفات الآتية:

أ- A x B

ب- D x A

ج- A x D

$B = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] A = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

فأثبت أن $A \times B = B \times A = I$ لاحظ أن $A \times B$ كل منها النظير الضربي للآخر.

$A = [\begin{array}{ll} 0 1 \\ 1 0 \end{array}] B = [\begin{array}{rr} 0 - 1 \\ 1 0 \end{array}] C = [\begin{array}{rr} 1 0 \\ 0 - 1 \end{array}]$

أ- $A x B$

ب- $A x C$

ج- $B x C$

د- $B x A$

هـ- $C x A$

و- $C x B$

ز- $(A \times B) \times C$

ح- $A \times (B \times C)$

أ- $A \times B = - (B \times A)$

ب- $A^{2} = C^{2} = I$

ج- $B^{2} = - I$

د- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

أ- $A x B$

ب- $D x A$

ج- $A x D$

د- $C x B$

هـ- $B x D$

و- $D \times (A \times B)$

ز- $(C \times B) \times D$

ح- $(A \times D) \times A$

أ- $[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \end{array}]$

ب- $[\begin{array}{ccc} - 2 & 1 & 6 \end{array}] [\begin{array}{l} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{array}]$

ج- $[\begin{array}{cc} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

د- $[\begin{array}{llll} 2 & - 1 & 8 & 0 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}]$

هـ- $[\begin{array}{rrr} - 1 & - 3 & 2 \\ 5 & 3 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 9 & 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 \end{array}]$

و- $[\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ز- $[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}]$

ح- $[\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}]$

$C = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

أ- $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

ب- $(B + C) \times A = B \times A + C \times A$

ج- $A \times (B + A) = A \times B + A^{2}$

د- $A \times (B + C) = B \times A + C \times A$

هـ- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

أ- $A^{2} - 2 A - 3 I = 0$

ب- $B^{2} - B + I = 0$

ج- $A \times B \neq B \times A$

فأثبت أن $A \times B = B \times A = I$ لاحظ أن $A \times B$ كل منها النظير الضربي للآخر.

$B = [\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] A = [\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

فأثبت أن $A \times B = B \times A = I$ لاحظ أن $A \times B$ كل منها النظير الضربي للآخر.

$A = [\begin{array}{ll} 0 1 \\ 1 0 \end{array}] B = [\begin{array}{rr} 0 - 1 \\ 1 0 \end{array}] C = [\begin{array}{rr} 1 0 \\ 0 - 1 \end{array}]$

أ- $A x B$

ب- $A x C$

ج- $B x C$

د- $B x A$

هـ- $C x A$

و- $C x B$

ز- $(A \times B) \times C$

ح- $A \times (B \times C)$

أ- $A \times B = - (B \times A)$

ب- $A^{2} = C^{2} = I$

ج- $B^{2} = - I$

د- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

أ- $A x B$

ب- $D x A$

ج- $A x D$

د- $C x B$

هـ- $B x D$

و- $D \times (A \times B)$

ز- $(C \times B) \times D$

ح- $(A \times D) \times A$

أ- $[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & - 1 & 2 \end{array}]$

ب- $[\begin{array}{ccc} - 2 & 1 & 6 \end{array}] [\begin{array}{l} - 5 \\ 0 \\ 3 \end{array}]$

ج- $[\begin{array}{cc} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

د- $[\begin{array}{llll} 2 & - 1 & 8 & 0 \end{array}] [\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}]$

هـ- $[\begin{array}{rrr} - 1 & - 3 & 2 \\ 5 & 3 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 9 & 1 & 0 \\ 2 & - 4 & 5 \end{array}]$

و- $[\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ز- $[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}]$

ح- $[\begin{array}{rrr} 1 & - 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}] [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ - 3 & 2 & 1 \end{array}]$

$C = [\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}]$

أ- $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$

ب- $(B + C) \times A = B \times A + C \times A$

ج- $A \times (B + A) = A \times B + A^{2}$

د- $A \times (B + C) = B \times A + C \times A$

هـ- $(A \times B) \times C = A \times (B \times C)$

أ- $A^{2} - 2 A - 3 I = 0$

ب- $B^{2} - B + I = 0$