حلول الأسئلة

السؤال

يراد اختيار لجنة طلابية تتكون من ثلاث أشخاص بین 12 طالب و4 طالبات، ما احتمال كل مما يأتي: أن تكون اللجنة جميعها طلاب.

الحل

$P (A) = \frac{C_{3}^{12}}{C_{3}^{16}} = \frac{12 \times 11 \times 10}{16 \times 15 \times 14} = \frac{11}{28}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (3-8)

(1)- صندوق يحتوي ثلاث كرات بيضاء مرقمة بالأرقام من 1، 2، 3 وكرتين سوداويتين مرقمتين 1، 2 إذا علمت أن الكرات متماثلة بالحجم سحبت كرة واحدة جد احتمال:

أ- الكرة سوداء.

ليكن الحدث A يمثل سحب كرة سوداء.

$P (A) = \frac{C_{1}^{2}}{C_{1}^{5}} = \frac{2}{5}$

ب- الكرة بيضاء.

ليكن الحدث B يمثل سحب كرة بيضاء.

$P (B) = \frac{C_{1}^{3}}{C_{1}^{5}} = \frac{3}{5}$

لاحظ

$P (S) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$

ج- الكرة بيضاء وتحمل رقم فردي.

ليكن الحدث C يمثل سحب كرة فردية بيضاء.

$\begin{aligned} P (C) = \frac{C_{1}^{2}}{C_{1}^{5}} = \frac{2}{5} \\ P (B_{C}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25} \end{aligned}$

(2)- رمیت حجرین متمایزين من أحجار النرد:

أ- ما هو احتمال العددين الظاهرين مجموعهما 6.

$\begin{aligned} A = & {(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)} \\ P (A) = \frac{5}{36} \end{aligned}$

ب- ما هو احتمال الحصول على مجموع 7 أو مجموع 11.

$\begin{aligned} B = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} \\ C = {(5, 6), (6, 5)} \end{aligned} \begin{aligned} P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\ P (C) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \end{aligned} B \cap C = \emptyset P (B \cup C) = P (B) + P (C) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

(3)- صندوقان يحتوي كل منهما على 6 كرات بيضاء و4 حمراء، جد نسبة احتمال سحب 3 كرات بيضاء من الصندوق الأول، وسحب كرتين بيضاويتين وكرة حمراء من الصندوق الثاني.

$P (A) = \frac{C_{3}^{6}}{C^{10}} = \frac{6 \times 5 \times 4}{2 \times 2 \times 1} \div \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{10 \times 9 \times 8} = \frac{6 \times 6 \times 4}{10 \times 9 \times 8} = \frac{1}{6} P (B) = \frac{C_{2}^{6} \times C_{1}^{4}}{C_{3}^{10}} = \frac{\frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4}{{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}}^{}} = \frac{60}{120} = \frac{6}{12} = \frac{1}{12} P (A \cap B) = P (A) \times P (B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

(4)- لدينا 5 بطاقات مرقمة من 1 إلى 5 سحبت بطاقة واحدة جد نسبة احتمال البطاقة لا تحمل رقم 3.

احتمال سحب البطاقة رقم 3

$P (A) = \frac{1}{5}$

احتمال لا تحمل رقم 3

$P (B_{c}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

(5)- كيس يحتوي على 20 كرة متجانسة في جميع عناصرها مرقمة من 1 ... 20 سحبت كرة واحدة، جد:

أ- احتمال العدد الذي تحمله الكرة عدداً أصغر من 9.

$P (A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

ب- احتمال العدد الذي تحمله الكرة عددا أكبر من 5.

$P (B) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

(6)- صندوق يحتوي على 21 قرص مرقم من 1 ... 21 سحب قرصان جد نسبة احتمال:

أ- القرصان زوجيان.

$P (A) = \frac{C_{2}^{10}}{C_{2}^{20}} = \frac{10 \times 9}{20 \times 19} = \frac{9}{38}$

ب- الأول زوجي والآخر فردي.

$\begin{aligned} P (B) = \frac{C_{1}^{10}}{C_{1}^{20}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \\ P (C) = \frac{C_{1}^{10}}{C_{1}^{19}} = \frac{10}{19} \end{aligned} \begin{aligned} P (B \cap C) = \frac{1}{2} \times \frac{10}{19} = \frac{5}{19} \\ P (B) = \frac{C_{1}^{10}}{C_{1}^{21}} = \frac{10}{21}, P (C) = \frac{C_{1}^{10}}{C_{1}^{20}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \times \frac{10}{21} = \frac{10}{42} \end{aligned}$

(7)- لدينا 50 بطاقة مرقمة من 1 ... 50 جد احتمال العدد على البطاقة المسحوبة:

أ- يقبل القسمة على 5.

$\begin{aligned} A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \end{aligned}$

ب- يقبل القسمة على 7.

$\begin{aligned} B = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49} \\ P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{7}{50} \end{aligned}$

ج- يقبل القسمة على 5 أو 7.

$\begin{aligned} P (A \cup B) & = P (A) + P (B) - P (A \cap B) \\ = \frac{10}{50} + \frac{7}{50} - \frac{1}{50} = \frac{16}{50} = \frac{8}{25} \end{aligned}$

(8)- يراد اختيار لجنة طلابية تتكون من ثلاث أشخاص بین 12 طالب و4 طالبات، ما احتمال كل مما يأتي:

أ- أن تكون اللجنة جميعها طلاب.

$P (A) = \frac{C_{3}^{12}}{C_{3}^{16}} = \frac{12 \times 11 \times 10}{16 \times 15 \times 14} = \frac{11}{28}$

ب- أن يكون في اللجنة طالب واحد فقط.

$P (B) = \frac{C_{1}^{12} \times C_{2}^{4}}{C_{3}^{16}} = \frac{12 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{6^{} \times 4 \times 3}{16 \times 5 \times 7} = \frac{9}{70}$

(9)- رميت حجري نرد متمايزين مرة واحدة ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين 9 أو يساوي 11.

$n (S) = 6^{2} = 6 \times 6 = 36$

ليكن حدث A مجموع العددين الظاهرين 9

$\begin{aligned} A = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)} \\ P (A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \end{aligned}$

ليكن حدث B مجموع العددين الظاهرين 11

$\begin{aligned} B = {(5, 6), (6, 5) \\ P (B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \end{aligned}$

$A∩B=∅ \begin{aligned} P (A \cup B) & = P (A) + P (B) \\ = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

يراد اختيار لجنة طلابية تتكون من ثلاث أشخاص بین 12 طالب و4 طالبات، ما احتمال كل مما يأتي: أن تكون اللجنة جميعها طلاب.

الحل

$P (A) = \frac{C_{3}^{12}}{C_{3}^{16}} = \frac{12 \times 11 \times 10}{16 \times 15 \times 14} = \frac{11}{28}$

تمارين (3-8)

(1)- صندوق يحتوي ثلاث كرات بيضاء مرقمة بالأرقام من 1، 2، 3 وكرتين سوداويتين مرقمتين 1، 2 إذا علمت أن الكرات متماثلة بالحجم سحبت كرة واحدة جد احتمال:

أ- الكرة سوداء.

ليكن الحدث A يمثل سحب كرة سوداء.

$P (A) = \frac{C_{1}^{2}}{C_{1}^{5}} = \frac{2}{5}$

ب- الكرة بيضاء.

ليكن الحدث B يمثل سحب كرة بيضاء.

$P (B) = \frac{C_{1}^{3}}{C_{1}^{5}} = \frac{3}{5}$

لاحظ

$P (S) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$

ج- الكرة بيضاء وتحمل رقم فردي.

ليكن الحدث C يمثل سحب كرة فردية بيضاء.

$\begin{aligned} P (C) = \frac{C_{1}^{2}}{C_{1}^{5}} = \frac{2}{5} \\ P (B_{C}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25} \end{aligned}$

(2)- رمیت حجرین متمایزين من أحجار النرد:

أ- ما هو احتمال العددين الظاهرين مجموعهما 6.

$\begin{aligned} A = & {(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)} \\ P (A) = \frac{5}{36} \end{aligned}$

ب- ما هو احتمال الحصول على مجموع 7 أو مجموع 11.

(3)- صندوقان يحتوي كل منهما على 6 كرات بيضاء و4 حمراء، جد نسبة احتمال سحب 3 كرات بيضاء من الصندوق الأول، وسحب كرتين بيضاويتين وكرة حمراء من الصندوق الثاني.

(4)- لدينا 5 بطاقات مرقمة من 1 إلى 5 سحبت بطاقة واحدة جد نسبة احتمال البطاقة لا تحمل رقم 3.

احتمال سحب البطاقة رقم 3

$P (A) = \frac{1}{5}$

احتمال لا تحمل رقم 3

$P (B_{c}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

(5)- كيس يحتوي على 20 كرة متجانسة في جميع عناصرها مرقمة من 1 ... 20 سحبت كرة واحدة، جد:

أ- احتمال العدد الذي تحمله الكرة عدداً أصغر من 9.

$P (A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

ب- احتمال العدد الذي تحمله الكرة عددا أكبر من 5.

$P (B) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

(6)- صندوق يحتوي على 21 قرص مرقم من 1 ... 21 سحب قرصان جد نسبة احتمال:

أ- القرصان زوجيان.

$P (A) = \frac{C_{2}^{10}}{C_{2}^{20}} = \frac{10 \times 9}{20 \times 19} = \frac{9}{38}$

ب- الأول زوجي والآخر فردي.

(7)- لدينا 50 بطاقة مرقمة من 1 ... 50 جد احتمال العدد على البطاقة المسحوبة:

أ- يقبل القسمة على 5.

$\begin{aligned} A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} \\ P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \end{aligned}$

ب- يقبل القسمة على 7.

$\begin{aligned} B = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49} \\ P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} = \frac{7}{50} \end{aligned}$

ج- يقبل القسمة على 5 أو 7.

$\begin{aligned} P (A \cup B) & = P (A) + P (B) - P (A \cap B) \\ = \frac{10}{50} + \frac{7}{50} - \frac{1}{50} = \frac{16}{50} = \frac{8}{25} \end{aligned}$

(8)- يراد اختيار لجنة طلابية تتكون من ثلاث أشخاص بین 12 طالب و4 طالبات، ما احتمال كل مما يأتي:

أ- أن تكون اللجنة جميعها طلاب.

$P (A) = \frac{C_{3}^{12}}{C_{3}^{16}} = \frac{12 \times 11 \times 10}{16 \times 15 \times 14} = \frac{11}{28}$

ب- أن يكون في اللجنة طالب واحد فقط.

(9)- رميت حجري نرد متمايزين مرة واحدة ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين 9 أو يساوي 11.

$n (S) = 6^{2} = 6 \times 6 = 36$

ليكن حدث A مجموع العددين الظاهرين 9

$\begin{aligned} A = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)} \\ P (A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \end{aligned}$

ليكن حدث B مجموع العددين الظاهرين 11

$\begin{aligned} B = {(5, 6), (6, 5) \\ P (B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \end{aligned}$

$A∩B=∅ \begin{aligned} P (A \cup B) & = P (A) + P (B) \\ = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{aligned}$