برهن على أن المستقيمين العموديين على مستويين متقاطعين لا يتوازيان.

المعطبات:

$\begin{array}{r}\left(\mathrm{x}\right)\cap \left(\mathrm{y}\right)=\overleftrightarrow{\mathrm{L}}\\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \left(\mathrm{x}\right) ,\stackrel{⟷}{ \mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{y}\right)\end{array}$

المراد إثباته:

$\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\nparallel \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}$

البرهان:

نفرض أن $\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}//\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}$

بما ان:

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{x}\right) \\ \overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

لكن المستوي العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر والمستويان العموديان على مستقيم واحد متوازيان.

$$\begin{gathered} \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{y}\right) \\ \left(\mathrm{x}\right)\parallel \left(\mathrm{y}\right) \end{gathered}$$

وهذا خلاف المعطى حيث أن x يقطع y

$\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\nparallel \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}$

تمارين (2-7)

(1)- ABC مثلث قائم الزاوية في $\mathrm{BC}=3\mathrm{cm} , \mathrm{AB}=4\mathrm{cm} , \mathrm{B}$
رسم $\overline{\mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{ABC}\right)$ بحيث CD=12cm جد طول AD.

في المثلث ABC قائم الزاوية في B

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overline{\mathrm{AB}}=4\mathrm{cm}\\ & \overline{\mathrm{BC}}=3\mathrm{cm}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (\overline{\mathrm{AC}}{)}^2=(\overline{\mathrm{BC}}{)}^2+(\overline{\mathrm{AB}}{)}^2\\ & (\overline{\mathrm{AC}}{)}^2=3^2+4^2=9+16=25\\ & \overline{\mathrm{AC}}=5\mathrm{cm}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (\overline{\mathrm{AD}}{)}^2=(\overline{\mathrm{CD}}{)}^2+(\overline{\mathrm{AC}}{)}^2\\ & (\overline{\mathrm{AD}}{)}^2={12}^2+5^2=144+25=169\\ & \overline{\mathrm{AD}}=13\mathrm{cm}\end{array} \end{gathered}$$

(2)- برهن على أن المستقيمين العموديين على مستويين متقاطعين لا يتوازيان.

المعطبات:

$\begin{array}{r}\left(\mathrm{x}\right)\cap \left(\mathrm{y}\right)=\overleftrightarrow{\mathrm{L}}\\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \left(\mathrm{x}\right) ,\stackrel{⟷}{ \mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{y}\right)\end{array}$

المراد إثباته:

$\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\nparallel \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}$

البرهان:

نفرض أن $\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}//\overleftrightarrow{\mathrm{CD}}$

بما ان:

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{x}\right) \\ \overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \left(\mathrm{x}\right) \end{gathered}$$

لكن المستوي العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عمودياً على الآخر والمستويان العموديان على مستقيم واحد متوازيان.

$$\begin{gathered} \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}\perp \left(\mathrm{y}\right) \\ \left(\mathrm{x}\right)\parallel \left(\mathrm{y}\right) \end{gathered}$$

وهذا خلاف المعطى حيث أن x يقطع y

$\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\nparallel \overleftrightarrow{\mathrm{CD}}$

(3)- في $\mathrm{AB}=10\mathrm{cm} , \mathrm{BD}=5\mathrm{cm} ,\overline{ \mathrm{BD}}\perp \left(\mathrm{ABC}\right) , \mathrm{m}<\mathrm{A}-{30}^{\circ } , \mathrm{ABC}\mathrm{△}$

فإذا كان $\overline{\mathrm{BH}}$ عمودي على $\overline{\mathrm{AC}}$ جد قياس BHD.

$\overline{\mathrm{BH}}\perp \overline{\mathrm{AC}}$

$\text{BHA}\mathrm{△}$ قائم الزاوية في H

$$\begin{gathered} \sin {30}^{\circ }=\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}} \\ \begin{array}{rl}& \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{BH}}{10}\to \mathrm{BH}=\frac{10}{2}\\ & \mathrm{BH}=5\mathrm{cm}\end{array} \end{gathered}$$

في $\text{DBH}\mathrm{△}$ قائم الزاوية في B

$\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{DH}}=5\mathrm{cm}$

$\text{DBH}\mathrm{△}$ قائم الزاوية ومتساوي الساقين.

وهذا يعني أن قياس $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BHD}={45}^{\circ }$