جسم يتحرك على خط مستقيم وفقاً للقاعدة $p\left(t\right) = \sin 2t - \cos 2t$

حيث (p(t الإزاحة بالأمتار، t الزمن بالثواني.

جد كلاً من بعد الجسم، سرعته وتعجيله عندما $\mathrm{t}=\mathrm{\Pi }/4$

البعد:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sin 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}-\cos 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ & =\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ & =1-0\\ & =1\mathrm{m}\end{array}$

السرعة:

$\begin{array}{rl}& {}^{\text{'}}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=2\cos 2\mathrm{t}+2\sin 2\mathrm{t}\\ & \text{'}{\mathrm{P}}^{}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=2\cos 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\sin 2\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ & =2\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ & =2\times 0+2\times 1\\ & =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

التعجيل:

$\begin{array}{rl}& {}^{\text{'}}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=2(\cos 2\mathrm{t}+\sin 2\mathrm{t})\\ & \text{'}\text{'}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=2(-2\sin 2\mathrm{t}+2\cos 2\\ & =2\times 2(\cos 2\mathrm{t}-\sin 2\mathrm{t})\\ & =4(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2})\\ & =4(0-1)\\ & =-4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

تمارين (3-6)

(1)- جد $\text{'}y$

1) $\mathrm{y}=\sin (5-{\mathrm{x}}^3)$

$\begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{y}=\cos (5-{\mathrm{x}}^3)\cdot (-3{\mathrm{x}}^2)\\ & \text{'}\mathrm{y}=\cos (5-{\mathrm{x}}^3)\cdot (-3{\mathrm{x}}^2)\\ & \text{'}\mathrm{y}=-3{\mathrm{x}}^2\cos (5-{\mathrm{x}}^3)\end{array}$

2) $\mathrm{y}=\sqrt{\cos (4\mathrm{x}+2)}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{y}& =(\cos (4\mathrm{x}+2){)}^{-\frac{1}{2}}\\ \text{'}\mathrm{y}& {=}_2^1(\cos (4\mathrm{x}+2\left){)}^{-\frac{1}{2}}\right(-\sin (4\mathrm{x}+2)\cdot 4)\\ \text{'}\mathrm{y}& =-2\frac{1}{\sqrt{\cos (4\mathrm{x}+2)}}(\sin (4\mathrm{x}+2\left)\right)\\ & =\frac{-2\sin (4\mathrm{x}+2)}{\sqrt{\cos (4\mathrm{x}+2)}}\end{array}$

3) $\mathrm{y}=\mathrm{xsec}{\mathrm{x}}^2$

$\begin{array}{rl}\text{'}\mathrm{y}& =\mathrm{xsec}{\mathrm{x}}^2\tan {\mathrm{x}}^2\cdot \left(2\mathrm{x}\right)+\left(1\right)\cdot \sec {\mathrm{x}}^2\\ \text{'}\mathrm{y}& =2{\mathrm{x}}^2\sec {\mathrm{x}}^2\tan {\mathrm{x}}^2+\sec {\mathrm{x}}^2\\ & =\sec {\mathrm{x}}^2(2{\mathrm{x}}^2\tan {\mathrm{x}}^2+1)\end{array}$

4) $y=\sin 3x\cos 3x$

$\begin{array}{rl}\text{'}\mathrm{y}& =\sin 3\mathrm{x}(-\sin 3\mathrm{x})\cdot \left(3\right)+\cos 3\mathrm{xcos}3\mathrm{x}\cdot \left(3\right)\\ & =3-3{\sin }^{2}3\mathrm{x}+3{\cos }^{2}3\mathrm{x}\\ & =3({\cos }^{2}3\mathrm{x}-{\sin }^{2}3\mathrm{x})=3\cos 6\mathrm{x}\end{array}$

5) $\mathrm{y}=\sqrt[3]{{\cot }^{2}4\mathrm{x}}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}=\sqrt[3]{(\cot 4\mathrm{x}{)}^2}\to \mathrm{y}=(\cot 4\mathrm{x}{)}^{\frac{2}{3}}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{2}{3}(\cot 4\mathrm{x}{)}^{\frac{1}{3}}(-{\csc }^{2}4\mathrm{x})\cdot (4)\\ & \text{'}\mathrm{y}=-\frac{8}{3}\left(\frac{{\csc }^{2}4\mathrm{x}}{\sqrt[3]{{\cot }^2\mathrm{x}}}\right)=\frac{-8{\csc }^{2}4\mathrm{x}}{3\sqrt[3]{{\cot }^2\mathrm{x}}}\end{array}$

6) $\mathrm{y}={\csc }^5({\mathrm{x}}^2+1)$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}=[\csc {({\mathrm{x}}^2+1)}^5\\ & \text{'}\mathrm{y}=5{[\csc ({\mathrm{x}}^2+1)]}^4\cdot \csc ({\mathrm{x}}^2+1)\cot ({\mathrm{x}}^2+1)\cdot 2\mathrm{x}\\ & \text{'}\mathrm{y}=5{\csc }^4({\mathrm{x}}^2+1)[-\csc ({\mathrm{x}}^2+1)\cot ({\mathrm{x}}^2+1)\cdot 2\mathrm{x}]\\ & \text{'}\mathrm{y}=5{\csc }^4({\mathrm{x}}^2+1)[-2\mathrm{xcsc}({\mathrm{x}}^2+1)\cot ({\mathrm{x}}^2+1)]\\ & \text{'}\mathrm{y}=-10{\mathrm{xcsc}}^4({\mathrm{x}}^2+1)\csc ({\mathrm{x}}^2+1)\cot ({\mathrm{x}}^2+1)\\ & \text{'}\mathrm{y}=-10{\mathrm{xcsc}}^5({\mathrm{x}}^2+1)\cot ({\mathrm{x}}^2+1)\end{array}$

7) $\mathrm{y}-(\sin 3\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x}{)}^2$

$\begin{array}{r}\text{'}\mathrm{y}=2(\sin 3\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x})\left(\right(\cos 3\mathrm{x}\left)\right(3)+(\sin 3\mathrm{x}\left)\right(3\left)\right)\\ \text{'}\mathrm{y}=2(\sin 3\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x})\left[3\right(\cos 3\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}\left)\right]\\ \text{'}\mathrm{y}=6(\sin 3\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x})(\sin 3\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x})\\ \text{'}\mathrm{y}=6({\sin }^{2}3\mathrm{x}-{\cos }^{2}3\mathrm{x})\\ \text{'}\mathrm{y}=6\cos 6\mathrm{x}\end{array}$

(2)- إذا كان $\sin {\mathrm{xy}}^2=4\mathrm{x}-3\mathrm{y}$ جد $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& (\cos {\mathrm{xy}}^2)(2\mathrm{y}\text{'}\mathrm{yx}+{\mathrm{y}}^2\cdot (1\left)\right)=4-3\text{'}\mathrm{y}\\ & 2\mathrm{y}\text{'}\mathrm{yxcos}{\mathrm{xy}}^2+{\mathrm{y}}^2\cos {\mathrm{xy}}^2=4-3^{\text{'}}\mathrm{y}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& (2\mathrm{y}\text{'}\mathrm{yxcos}{\mathrm{xy}}^2+3^{\text{'}}\mathrm{y})=4-{\mathrm{y}}^2\cos {\mathrm{xy}}^2\\ & \text{'}\mathrm{y}\left((2\mathrm{yxcos}{\mathrm{xy}}^2+3)\right)=4-{\mathrm{y}}^2\cos {\mathrm{xy}}^2\\ & \text{'}{\mathrm{y}}^{}=\frac{4-{\mathrm{y}}^2\cos {\mathrm{xy}}^2}{2\mathrm{yxcos}{\mathrm{xy}}^2+3}\to \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{4-{\mathrm{y}}^2\cos {\mathrm{xy}}^2}{2\mathrm{yxcos}{\mathrm{xy}}^2+3}\end{array} \end{gathered}$$

(3)- أثبت صحة:

أ- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}[\sin \mathrm{ax}-\frac{1}{3}{\sin }^3\mathrm{ax}]={\mathrm{acos}}^3\mathrm{ax}$

$\begin{array}{rl}\text{L.S}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}[\sin \mathrm{ax}-\frac{1}{3}{\sin }^3\mathrm{ax}]\\ & =\cos \mathrm{ax}-\left(\mathrm{a}\right)-\frac{1}{3}(\sin \mathrm{ax}{)}^3=\mathrm{acos}\mathrm{ax}-\left(\frac{1}{3}\right)\cdot 3(\sin \mathrm{ax}{)}^2\cdot \cos \mathrm{ax}\cdot \left(\mathrm{a}\right)\\ & =\mathrm{acos}\mathrm{ax}-\mathrm{acos}{\mathrm{axsin}}^2\mathrm{ax}=\mathrm{acos}\mathrm{ax}-\mathrm{acos}\mathrm{ax}(1-{\cos }^2\mathrm{ax})\\ & =\mathrm{acos}\mathrm{ax}-\mathrm{acos}\mathrm{ax}+{\mathrm{acos}}^3\mathrm{ax}=0+{\mathrm{acos}}^3\mathrm{ax}={\mathrm{acos}}^3\mathrm{ax}=\mathrm{R}.\mathrm{S}\end{array}$

ب- $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{2-\cos \mathrm{x}}{2+\cos \mathrm{x}}\right)=\frac{4\sin \mathrm{x}}{(2+\cos \mathrm{x}{)}^2}$

$\begin{array}{rl}\text{L.S}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{2-\cos \mathrm{x}}{2+\cos \mathrm{x}}\right)\\ & =\frac{(2+\cos \mathrm{x})[0-(-\sin \mathrm{x}\left)\right]-[-\sin \mathrm{x}(2-\cos \mathrm{x}\left)\right]}{(2+\cos \mathrm{x}{)}^2}\\ & =\frac{\sin \mathrm{x}(2+\cos \mathrm{x})+\sin \mathrm{x}(2-\cos \mathrm{x})}{(2+\cos \mathrm{x}{)}^2}=\frac{\sin \mathrm{x}(2+\cos \mathrm{x}+2-\cos \mathrm{x})}{(2+\cos \mathrm{x}{)}^2}\\ & =\frac{4\sin \mathrm{x}}{(2+\cos \mathrm{x}{)}^2}=\mathrm{R}.\mathrm{S}\end{array}$

(4)- جد $\text{'}y$

$\mathrm{y}={\cos }^4\mathrm{x}$

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& \mathrm{y}=({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x})\cdot ({\cos }^2\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x})\\ & \mathrm{y}=\underset{\cos 2\mathrm{x}}{\underbrace{({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x})}}\cdot \underset{1}{\underbrace{({\cos }^2\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x})}}\\ & \mathrm{y}=\cos 2\mathrm{x}\\ & \mathrm{y}=-\sin 2\mathrm{x}\cdot \left(2\right)=-2\sin 2\mathrm{x}\end{array}\\ & \mathrm{y}=\underset{\cos 2\mathrm{x}}{\underbrace{({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x})}}\cdot \underset{1}{\underbrace{({\cos }^2\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x})}}\\ & \mathrm{y}=\cos 2\mathrm{x}\\ & \mathrm{y}=-\sin 2\mathrm{x}\cdot \left(2\right)=-2\sin 2\mathrm{x}\end{array}$

(5)- جد معادلة المماس للمنحني $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sin 2\mathrm{x}+\sin \mathrm{x}$ عند $x=\frac{\mathrm{\Pi }}{2}$

نوجد الإحداثي الصادي y لنقطة التماس

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}=\sin 2\mathrm{x}+\sin \mathrm{x}\\ \mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\mathrm{y}=\sin 2\cdot \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{y}=\sin \mathrm{\pi }+\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ & \mathrm{y}=0+1=1\end{array} \end{gathered}$$

نقطة التماس $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2},1\right)$

نوجد ميل المماس ومنه معادلة المماس:

$\begin{array}{rl}\text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =2\cos 2\mathrm{x}+\cos \mathrm{x}\\ & =2\cos 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ & \begin{array}{rl}& \mathrm{m}=2(-1)+0)=-2\\ & \mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1=\mathrm{m}(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1)\\ & \mathrm{y}-1=-2(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{2})\\ & \mathrm{y}-1=-2\mathrm{x}+\mathrm{\pi }\\ & 2\mathrm{x}+\mathrm{y}-1-\mathrm{\pi }=0\end{array}\end{array}$

(6)- جسم يتحرك على خط مستقيم وفقاً للقاعدة $\mathrm{\rho }\left(\mathrm{t}\right)=\sin 2\mathrm{t}-\cos 2\mathrm{t}$

حيث (p(t الإزاحة بالأمتار، t الزمن بالثواني.

جد كلاً من بعد الجسم، سرعته وتعجيله عندما $\mathrm{t}=\mathrm{\Pi }/4$

البعد:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sin 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}-\cos 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ & =\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ & =1-0\\ & =1\mathrm{m}\end{array}$

السرعة:

$\begin{array}{rl}& {}^{\text{'}}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=2\cos 2\mathrm{t}+2\sin 2\mathrm{t}\\ & \text{'}{\mathrm{P}}^{}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=2\cos 2\cdot \frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\sin 2\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ & =2\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ & =2\times 0+2\times 1\\ & =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

التعجيل:

$\begin{array}{rl}& {}^{\text{'}}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=2(\cos 2\mathrm{t}+\sin 2\mathrm{t})\\ & \text{'}\text{'}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=2(-2\sin 2\mathrm{t}+2\cos 2\\ & =2\times 2(\cos 2\mathrm{t}-\sin 2\mathrm{t})\\ & =4(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2})\\ & =4(0-1)\\ & =-4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

(7)- إذا كان (t)v سم/ثا تمثل سرعة جسم متحرك على خط مستقيم حيث

$\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)=4\sin \frac{\mathrm{t\Pi }}{4}+8\cos \frac{\mathrm{t\Pi }}{4}$

جد السرعة والتعجيل عندما 1=t

السرعة:

$\begin{array}{rl}\mathrm{V}\left(1\right)& =4\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}+8\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ & =4\times \frac{1}{\sqrt{2}}+8\times \frac{1}{\sqrt{2}}=2\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}+4\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ & =2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}=6\times 1.414\simeq 8.5\mathrm{cm}/\sec \end{array}$

التعجيل:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{V}\left(\mathrm{t}\right)=4\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{4}+8\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{4}\\ & \text{'}\mathrm{V}\left(\mathrm{t}\right)=4\cos \frac{\mathrm{t\pi }}{4}\times \frac{\mathrm{\pi }}{4}+8(-\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{4}\times \frac{\mathrm{\pi }}{4})=4\times \frac{\mathrm{\pi }}{4}\cos \frac{\mathrm{t}}{4}-8\times \frac{\mathrm{\pi }}{4}\sin \frac{\mathrm{t\pi }}{4}\\ & \mathrm{\pi cos}\frac{\mathrm{t\pi }}{4}-2\mathrm{\pi sin}\frac{\mathrm{t\pi }}{4}\\ & \begin{array}{rl}& {}^{\text{'}}\mathrm{V}\left(1\right)=\mathrm{\pi }\times \frac{1}{\sqrt{2}}-2\mathrm{\pi }\times \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{2}\mathrm{\pi }}{2}-\sqrt{2}\mathrm{\pi }=\frac{\sqrt{2}\mathrm{\pi }-2\sqrt{2}\mathrm{\pi }}{2}=\frac{-\sqrt{2}\mathrm{\pi }}{2}=\frac{-4.44}{2}=-2.22\mathrm{cm}/{\sec }^2\end{array}\end{array}$