جد معادلتي المماس للمنحني 15=x ² +y ² -5xy عند 2 -=y

نستخرج الإحداثي السيني عند y=-2 من المعادلة الأصلية

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2+4-5\mathrm{x}(-2)=15 \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+4-15=0\\ & {\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-11=0\to (\mathrm{x}+11)(\mathrm{x}-1)=0\end{array} \\ \mathrm{x}+11=0\Rightarrow \mathrm{x}=-11 \\ \mathrm{x}-1=0\to \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$

توجد نقطتي تماس للمنحني هما $(-11,-2) , (1,-2)$ أي يوجد مماسين للمنحني:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-5\mathrm{xy}=15\\ & 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}\text{'}\mathrm{y}-(5\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}+5\mathrm{y})=0\\ & 2\mathrm{x}+2{\mathrm{y}}^{\text{'}}\mathrm{y}-5{\mathrm{x}}^{\text{'}}\mathrm{y}-5\mathrm{y}=0\end{array} \\ \begin{array}{r}2{\mathrm{y}}^{\text{'}}\mathrm{y}-5\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}+2\mathrm{x}-5\mathrm{y}=0\\ \mathrm{y}(2\mathrm{y}-5\mathrm{x})=5\mathrm{y}-2\mathrm{x}\end{array} \end{gathered}$$

ميل المماس الأول (2-,1) ومنه معادلة المماس:

$\begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{y}=\frac{5\mathrm{y}-2\mathrm{x}}{2\mathrm{y}-5\mathrm{x}}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{5(-2)-2\left(1\right)}{2(-2)-5\left(1\right)}=\frac{-10-2}{-4-5}=\frac{-(10+2)}{-(4+5)}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ & \frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}=\frac{4}{3}-\frac{\mathrm{y}+2}{\mathrm{x}-1}=\frac{4}{3}\to 4\mathrm{x}-4=3\mathrm{y}+6\to 4\mathrm{x}-3\mathrm{y}-4-6=0\\ & 4\mathrm{x}-3\mathrm{y}-10=0\end{array}$

ميل المماس الثاني (2-,11-) ومنه معادلة المماس:

$\begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{y}=\frac{5\mathrm{y}-2\mathrm{x}}{2\mathrm{y}-5\mathrm{x}}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{5(-2)-2(-11)}{2(-2)-5(-11)}=\frac{-10+22}{-4+55}=\frac{22-10}{55-4}=\frac{12}{51}\\ & \frac{\mathrm{y}+2}{\mathrm{x}+11}=\frac{12}{51}\to 12\mathrm{x}+132=51\mathrm{y}+102\to 12\mathrm{x}-51\mathrm{y}+132-102=0\\ & 12\mathrm{x}-51\mathrm{y}+30=0\end{array}$

تمارين (2-6)

(1)- إذا كان:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={(1+2{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x})}^{3/2}\\ & \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}\end{array}$

جد: $\left(\text{gοf}\right)\left(0\right)$
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& (\mathrm{g}\circ \mathrm{f})\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left[\mathrm{r}\right(\mathrm{x}\left)\right]=\mathrm{g}\left(2\mathrm{\pi }\right)\\ & (\mathrm{g}\circ \mathrm{f})\left(\mathrm{x}\right)={(1+2(2\mathrm{x}{)}^2+5\left(2\mathrm{x}\right))}^{\frac{3}{2}}\\ & (\mathrm{g}\circ \mathrm{f})\left(\mathrm{x}\right)={(1+8{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x})}^{\frac{3}{2}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}{}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{g}\circ \mathrm{f})\left(\mathrm{x}\right)=\frac{3}{2}{(1+8{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x})}^{\frac{1}{2}}(16\mathrm{x}+10){\to }^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{g}\circ \mathrm{f})\left(0\right)& =\frac{3}{2}(1+0+0{)}^{\frac{1}{2}}(0+10)\\ & =\frac{3}{2}\times 1\times 10=15\end{array} \end{gathered}$$

(2)- إذا كان:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}={\mathrm{n}}^3+3\mathrm{n}-5\\ & \mathrm{n}=2\mathrm{x}+1\end{array}$

جد: $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dn}}\times \frac{\mathrm{dn}}{\mathrm{dx}}\\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=(3{\mathrm{n}}^2+3)\left(2\right)\\ & =2(3{\mathrm{n}}^2+3)=6{\mathrm{n}}^2+6\end{array}$

(3)- إذا كان:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}={\mathrm{an}}^2+3\mathrm{n}-7\\ & \mathrm{n}=2\mathrm{x}+1\end{array}$

وكان: $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=30$ عندما x=1، جد قيمة a

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dn}}\times \frac{\mathrm{dn}}{\mathrm{dx}}\\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=(2\mathrm{an}+3)\left(2\right)\\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=4\mathrm{an}+6\\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=4\mathrm{a}(2\mathrm{x}+1)+6\\ & =8\mathrm{ax}+4\mathrm{a}+6\\ & 30=8\mathrm{a}\left(1\right)+4\mathrm{a}+6\\ & 30=12\mathrm{a}+6\\ & 30-6=12\mathrm{a}\\ & 24=12\mathrm{a}\\ & \mathrm{a}=\frac{24}{12}=2\end{array}$

(4)- إذا كان:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{y}=3{\mathrm{n}}^2+2\mathrm{n}+4\\ & \mathrm{x}=8\mathrm{n}+5\end{array}$

جد: $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ عندما n=1

$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=& 6\mathrm{n}+2 , \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dy}}=8\\ \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dx}}& =\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dn}}÷\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dn}}\\ & =(6\mathrm{n}+2)÷8\\ & =(6\mathrm{n}+2)\times \frac{1}{8}\\ & =\frac{6\mathrm{n}+2}{8}=\frac{2\left(3\mathrm{n}\right(+1)}{8}=\frac{3\mathrm{n}+1}{4}=\frac{3\left(1\right)+1}{4}\\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{4}{4}=1\end{array}$

(5)- إذا كان: ${\mathrm{xy}}^2+4{\mathrm{x}}^2=7\mathrm{x}-2\mathrm{y}$

جد: $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$

$\begin{array}{rl}& \text{(x)2y '}\mathrm{y}+\left(1\right){\mathrm{y}}^2+8\mathrm{x}=7-2^{\text{'}}\mathrm{y}\\ & 2\mathrm{yx} \text{'}\mathrm{y}+2\text{'}\mathrm{y}=7-8\mathrm{x}-{\mathrm{y}}^2\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{y}(2\mathrm{yx}+2)=7-8\mathrm{x}-{\mathrm{y}}^2\\ & \text{'}{\mathrm{y}}^{}=\frac{7-{\mathrm{y}}^2-8\mathrm{x}}{2\mathrm{yx}+2}\\ & \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{7-{\mathrm{y}}^2-8\mathrm{x}}{2\mathrm{yx}+2}\end{array}$

(6)- إذا كان: ${\mathrm{xy}}^2+{\mathrm{yx}}^2=2$

أثبت أن: $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-1$ عند (1,1)

$\begin{array}{rl}& \mathrm{x}{\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{y}}}}^{}\text{'}\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}+\sqrt{\mathrm{x}}\text{'}\mathrm{y}=0\\ & {\frac{\mathrm{x}}{2\sqrt{\mathrm{y}}}}^{}\text{'}\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{x}}\text{'}\mathrm{y}+\sqrt{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{2\sqrt{\mathrm{x}}}=0\to \text{'}\mathrm{y}(\frac{\mathrm{x}}{2\sqrt{\mathrm{y}}}+\sqrt{\mathrm{x}})=-\sqrt{\mathrm{y}}-\frac{\mathrm{y}}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\\ & \text{'}\mathrm{y}(\frac{\mathrm{x}}{2\sqrt{\mathrm{y}}}+\sqrt{\mathrm{x}})=-(\sqrt{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{2\sqrt{\mathrm{x}}})\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{-(\sqrt{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{y}}{2\sqrt{\mathrm{x}}})}{(\frac{\mathrm{x}}{2\sqrt{\mathrm{y}}}+\sqrt{\mathrm{x}})}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{-(1+\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2}+1)}=\frac{-1\frac{1}{2}}{1\frac{1}{2}}\\ & \text{'}\mathrm{y}=-1\end{array}$

(7)- جسم متحرك على خط مستقيم وفق القاعدة $\mathrm{p}\left(\mathrm{t}\right)=24{\mathrm{t}}^2-{\mathrm{t}}^3$

حيث: (p(t الإزاحة بالأمتار، t الزمن بالثواني.

1) جد سرعة الجسم بعد 2 تا من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=24{\mathrm{t}}^2-{\mathrm{t}}^3\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=\left(2\right)24\mathrm{t}-3{\mathrm{t}}^2\end{array}$

السرعة: ${}^{\text{'}}\mathrm{P}\left(2\right)=48\cdot \left(2\right)-3\cdot (2{)}^2$

التعجيل: $\begin{array}{rl}& {\text{'}}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=\left(2\right)\cdot 24\mathrm{t}-6\mathrm{t}\\ & =96-12=84\mathrm{m}/\sec \end{array}$

2) جد الإزاحة عندما التعجيل = صفر.

نستخرج الزمن من معادلة التعجيل لاستخراج الإزاحة

$$\begin{gathered} {}^{\prime \prime }\mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=48-6\mathrm{t} \\ \begin{array}{r}0=48-6\mathrm{t}\to 48-6\mathrm{t}=0\\ 6\mathrm{t}=48\to \mathrm{t}=8\sec \end{array} \end{gathered}$$

نعود إلى معادلة الإزاحة

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{t}\right)=24{\mathrm{t}}^2-{\mathrm{t}}^3 \\ \begin{array}{rl}& =24\times 64-8\times 8\times 8\\ & =1536-512=1024\mathrm{m}\end{array} \end{gathered}$$

(8)- لتكن (v (t سم\ثا تمثل سرعة جسم بتحرك على خط مستقيم وإن $\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^3-{\mathrm{t}}^2+5$

جد السرعة عندما التعجيل =8 سم\ثا²

^{$\begin{array}{rl}& \mathrm{V}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^3-{\mathrm{t}}^2+5\\ & \mathrm{V}\left(\mathrm{t}\right)=3{\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}\\ & 8=3{\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}\\ & 3{\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}-8=0\\ & (3\mathrm{t}+4)(\mathrm{t}-2)=0\\ & 3\mathrm{t}+4=0\\ & 3\mathrm{t}=-4\\ & \mathrm{t}=\frac{-4}{3}\\ & \begin{array}{rl}& \mathrm{t}-2=0-\mathrm{t}=2\\ & \mathrm{V}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{t}}^3-{\mathrm{t}}^2+5\\ & \mathrm{V}\left(2\right)=2^3-2^2+5\\ & =8-4+5\\ & =8+5-4=13-4\\ & \mathrm{V}\left(2\right)=9\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array}\end{array}$}

(9)- جد معادلة المماس لمنحني الدالة:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}$ عندما 1-=x

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}(-1)=\sqrt{(-1{)}^2+3}\\ & \mathrm{f}(-1)=\sqrt{1+3}\to \mathrm{f}(-1)=\sqrt{4}=2\end{array}$

نقطة التماس $(-1,2)$

ومنه معادلة المماس:

$\begin{array}{rl}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}& \\ \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}\left(2\mathrm{x}\right)\to \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}\\ \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =\frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}\left(2\mathrm{x}\right)\to \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}\\ \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)& =\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}\to \text{'}\mathrm{f}(-1)=\frac{-1}{\sqrt{(-1{)}^2+3}}\\ & \begin{array}{rl}& \mathrm{m}=\frac{-1}{\sqrt{1+3}}=\frac{-1}{2}\\ & \frac{-1}{2}(\mathrm{x}-(-1\left)\right)=(\mathrm{y}-2)\to \frac{-1}{2}(\mathrm{x}+1)=(\mathrm{y}-2)\\ & -1(\mathrm{x}+1)=2(\mathrm{y}-2)\to -\mathrm{x}-1=2\mathrm{y}-4\\ & \mathrm{x}+2\mathrm{y}-4+1=0\to \mathrm{x}+2\mathrm{y}-3=0\end{array}\end{array}$

(10)- إذا كان:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\\ & \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{2\mathrm{x}+1}\end{array}$

حيث: $\mathrm{x}\ge -\frac{1}{2}$

جد معادلة المماس للمنحني $\left(\mathrm{fog}\right)\left(\mathrm{x}\right)$ عند 4=x

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\\ & \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}+1\\ & (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}\left)\right]\\ & =\mathrm{f}(2\mathrm{x}+1)\\ & (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}(2\mathrm{x}+1)\\ & \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\\ & \mathrm{f}(2\mathrm{x}+1)=(2\mathrm{x}+1)-(2\mathrm{x}+1{)}^2\\ & =2\mathrm{x}+1-(4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1)\\ & =2\mathrm{x}-4\mathrm{x}+1-1-4{\mathrm{x}}^2\\ & =-4{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\\ & (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=-4{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\\ & (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(4\right)=-4\left(16\right)-2\left(4\right)\\ & =-64-8\\ & \begin{array}{rl}& \mathrm{y}=-72\\ & (4,-72)\\ & (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(\mathrm{x}\right)=-8\mathrm{x}-2\\ & =-(8\mathrm{x}+2)\\ & (\mathrm{f}\circ \mathrm{g})\left(4\right)=-(8\times 4+2)\\ & =-(32+2)\\ & =-34\\ & \mathrm{m}=-34\\ & -34(\mathrm{x}-4)=(\mathrm{y}+72)\\ & -34\mathrm{x}+136=\mathrm{y}+72\\ & -34\mathrm{x}-\mathrm{y}+136-72=0\\ & -34\mathrm{x}-\mathrm{y}+64=0\\ & 34\mathrm{x}+\mathrm{y}-64=0\end{array}\end{array}$

(11)- جد معادلتي المماس للمنحني 15=x²+y²-5xy عند 2 -=y

نستخرج الإحداثي السيني عند y=-2 من المعادلة الأصلية

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2+4-5\mathrm{x}(-2)=15 \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}+4-15=0\\ & {\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-11=0\to (\mathrm{x}+11)(\mathrm{x}-1)=0\end{array} \\ \mathrm{x}+11=0\Rightarrow \mathrm{x}=-11 \\ \mathrm{x}-1=0\to \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$

توجد نقطتي تماس للمنحني هما $(-11,-2) , (1,-2)$ أي يوجد مماسين للمنحني:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-5\mathrm{xy}=15\\ & 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}\text{'}\mathrm{y}-(5\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}+5\mathrm{y})=0\\ & 2\mathrm{x}+2{\mathrm{y}}^{\text{'}}\mathrm{y}-5{\mathrm{x}}^{\text{'}}\mathrm{y}-5\mathrm{y}=0\end{array} \\ \begin{array}{r}2{\mathrm{y}}^{\text{'}}\mathrm{y}-5\mathrm{x}\text{'}\mathrm{y}+2\mathrm{x}-5\mathrm{y}=0\\ \mathrm{y}(2\mathrm{y}-5\mathrm{x})=5\mathrm{y}-2\mathrm{x}\end{array} \end{gathered}$$

ميل المماس الأول (2-,1) ومنه معادلة المماس:

$\begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{y}=\frac{5\mathrm{y}-2\mathrm{x}}{2\mathrm{y}-5\mathrm{x}}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{5(-2)-2\left(1\right)}{2(-2)-5\left(1\right)}=\frac{-10-2}{-4-5}=\frac{-(10+2)}{-(4+5)}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ & \frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}=\frac{4}{3}-\frac{\mathrm{y}+2}{\mathrm{x}-1}=\frac{4}{3}\to 4\mathrm{x}-4=3\mathrm{y}+6\to 4\mathrm{x}-3\mathrm{y}-4-6=0\\ & 4\mathrm{x}-3\mathrm{y}-10=0\end{array}$

ميل المماس الثاني (2-,11-) ومنه معادلة المماس:

$\begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{y}=\frac{5\mathrm{y}-2\mathrm{x}}{2\mathrm{y}-5\mathrm{x}}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{5(-2)-2(-11)}{2(-2)-5(-11)}=\frac{-10+22}{-4+55}=\frac{22-10}{55-4}=\frac{12}{51}\\ & \frac{\mathrm{y}+2}{\mathrm{x}+11}=\frac{12}{51}\to 12\mathrm{x}+132=51\mathrm{y}+102\to 12\mathrm{x}-51\mathrm{y}+132-102=0\\ & 12\mathrm{x}-51\mathrm{y}+30=0\end{array}$