باستخدام قواعد المشتقة جد المشتقة الأولى لكل مما يأتي إزاء العدد المؤشر أمامها: عند 0 = x $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+3}{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^4$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{({\mathrm{x}}^2+3)}^4}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^4}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={({\mathrm{x}}^2+3)}^4{({\mathrm{x}}^2+1)}^4 \\ \begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={({\mathrm{x}}^2+3)}^4\cdot [-4{({\mathrm{x}}^2+1)}^{-6}(2\mathrm{x}\left)\right]+{({\mathrm{x}}^2+1)}^4\cdot \left[4{({\mathrm{x}}^2+3)}^{-3}\right(2\mathrm{x}\left)\right]\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=[-8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^4{({\mathrm{x}}^2+1)}^{-5}]+\left[8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+1)}^{-4}{({\mathrm{x}}^2+3)}^3\right]\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{-8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^4+8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^3}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^5{({\mathrm{x}}^2+1)}^4}\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^3[-{\mathrm{x}}^2-3+1]}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^9}\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{8\left(0\right){\left(\right(0{)}^2+3)}^3[-(0{)}^2-3+1]}{{\left(\right(0{)}^2+1)}^9}=\frac{0}{1}=0\end{array} \end{gathered}$$

تمارين (1-6)

(1)-

أ- 2+f(x) = 3x²+4x باستخدام التعريف جد (1)f

$\begin{array}{rl}\text{'}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_1\right)& =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}({\mathrm{x}}_1+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_1\right)}{\mathrm{\Delta x}}\\ \text{'}\mathrm{f}\left(1\right)& =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(1+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{3(1+\mathrm{\Delta x}{)}^2+4(1+\mathrm{\Delta x})+2-9}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{3(1+\mathrm{\Delta x}+(\mathrm{\Delta x}{)}^2+4+4\mathrm{\Delta x}-7}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{3+6\mathrm{\Delta x}+3(\mathrm{\Delta x}{)}^2+4\mathrm{\Delta x}-3}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{10\mathrm{\Delta x}+3(\mathrm{\Delta x}{)}^2}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta x}(10+3\mathrm{\Delta x})}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}10+3\mathrm{\Delta x}=10\end{array}$

ب- $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}}$ جد اوسع مجال إلى الدالة ومشتقتها.

$\begin{array}{rl}\text{'}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)& =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x}}-\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{\Delta x}}\cdot \frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x}}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x}}+\sqrt{\mathrm{x}}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x}-\mathrm{x}}{\mathrm{\Delta x}(\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x}}+\sqrt{\mathrm{x}})}=\underset{\mathrm{\Delta x}=0}{lim}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{\Delta x}}+\sqrt{\mathrm{x}}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\\ \text{'}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)& =\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}\end{array}$

• الأعداد السالبة غير معرفة في مجموعة الأعداد الحقيقية R الموجودة تحت الجذور ذات الدليل الزوجي.
• مجال الدالة للأعداد الغير سالبة من R يعني ${\mathrm{R}}^{+}\cup \left\{0\right\}$
• أوسع مجال للدالة $\text{(domain of derivative})=\{\mathrm{x}:\mathrm{x}\ge 0\}$
• مجال مشتقة الدالة هي الأعداد الموجبة من R يعني ⁺⁺R لأن الصفر في المقام يؤدي إلى عدد غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.
• أوسع مجال للدالة $\text{(domain of derivative})=\{\mathrm{x}:\mathrm{x}>0\}$

ج- $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}$ حيث $\mathrm{x}\ne 1$ جد باستخدام التعريف (2)f

الدالة معرفة عند x=2

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(2\right)=\frac{2\times 2+1}{2-1}=\frac{5}{1}=5 \\ \text{'}\mathrm{f}\left(2\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{(2+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{f}\left(2\right)}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\frac{2(2+\mathrm{\Delta x})+1}{2+\mathrm{\Delta x}-1}-5}{\mathrm{\Delta x}} \\ \begin{array}{rl}& =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{4+2\mathrm{\Delta x}+1-5(1+\mathrm{\Delta x})}{\mathrm{\Delta x}(1+\mathrm{\Delta x})}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{4+2\mathrm{\Delta x}+1-5-5\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}(1+\mathrm{\Delta x})}\end{array} \\ \text{'}\mathrm{f}\left(2\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{-3\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}(1+\mathrm{\Delta x})}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{-3}{1+\mathrm{\Delta x}}=\frac{-3}{1+0}=\frac{-3}{1}=-3 \end{gathered}$$

(2)- ابحث استمرارية وقابلية الاشتقاق لكل من الدوال التالية عند قيم x التي أمامها:

أ- إذا كان:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{cl}{\mathrm{x}}^2+1& \mathrm{x}\le 2\\ 7-\mathrm{x}& \mathrm{x}>2\end{array}$

عند x=2

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+1 , \mathrm{f}\left(2\right)=4+1=5 \\ \underset{\mathrm{\Delta x}\to 2}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{l}\underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}{\mathrm{x}}^2+1\to \underset{\mathrm{\Delta x}\to 2}{lim}{\mathrm{x}}^2+1=(2{)}^2+1=5={\mathrm{L}}_1\\ \underset{\mathrm{x}\to 2}{lim}7-\mathrm{x}\to \underset{\mathrm{\Delta x}\to 2}{lim}7-\mathrm{x}=7-2=5={\mathrm{L}}_2\end{array} \end{gathered}$$

الغاية موجودة لأن ${\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2$

الدالة مستمرة عند x=2 لأن $\underset{\mathrm{\Delta x}\to 2}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(2\right)$

$$\begin{gathered} \text{'}\mathrm{f}\left(2\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(2+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{f}\left(2\right)}{\mathrm{\Delta x}} \\ \text{at }\mathrm{\Delta x}<0\to 2+\mathrm{\Delta x}<2{\mathrm{x}}^2+1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{'}\mathrm{f}\left(2\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{(2+\mathrm{\Delta x}{)}^2+1-5}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{4+4\mathrm{\Delta x}+(\mathrm{\Delta x}{)}^2+1-5}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta x}(4+\mathrm{\Delta x})}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}}{lim}\underset{\to 0}{}4+\mathrm{\Delta x}=4={\mathrm{L}}_1 \\ \mathrm{\Delta x}>0\to 2+\mathrm{\Delta x}>2 7-\mathrm{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{'}\mathrm{f}\left(2\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{7-(2+\mathrm{\Delta x})-5}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{7-2-\mathrm{\Delta x}-5}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{-\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=-1={\mathrm{L}}_2 \\ {\mathrm{L}}_1\ne {\mathrm{L}}_2 \end{gathered}$$

الدالة غير قابلة للاشتقاق عند x=2

ب- إذا كان:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{x}}^2& \mathrm{x}\ge -1\\ -2\mathrm{x}-1& \mathrm{x}<-1\end{array}$

عند x=-1

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2 , \mathrm{f}(-1)=(-1{)}^2=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\{\begin{array}{l}\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}{\mathrm{x}}^2 \to (-1{)}^2=1={\mathrm{L}}_1\\ \underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}-2\mathrm{x}-1\to -2(-1)-1=2-1=1={\mathrm{L}}_2\end{array} \end{gathered}$$

الغاية موجودة لأن ${\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2$

الدالة مستمرة عند x=-1 لأن $\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}(-1)$

$$\begin{gathered} \text{'}\mathrm{f}(-1)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(-1+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{f}(-1)}{\mathrm{\Delta x}} \\ \text{at }\mathrm{\Delta x}<0\to -1+\mathrm{\Delta x}<-1-2\mathrm{x}-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{'}\mathrm{f}(-1)=\underset{\mathrm{\Delta x}}{lim}\frac{-2(-1+\mathrm{\Delta x})-1-1}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{2-2\mathrm{\Delta x}-2}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}}{lim}\frac{-2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}}{lim}-2=-2={\mathrm{L}}_1 \\ \mathrm{\Delta x}>0\to -1+\mathrm{\Delta x}>-1 {\mathrm{x}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{'}\mathrm{f}(-1)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim} \frac{(-1+\mathrm{\Delta x}{)}^2-1}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim} \frac{1+(-2\mathrm{\Delta x})(\mathrm{\Delta x}{)}^2-1}{\mathrm{\Delta x}} \\ =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim} \frac{(\mathrm{\Delta x}{)}^2-2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim} \frac{\mathrm{\Delta x}(\mathrm{\Delta x}-2)}{\mathrm{\Delta x}}=-2={\mathrm{L}}_2 \\ {\mathrm{L}}_1\ne {\mathrm{L}}_2 \end{gathered}$$

الدالة غير قابلة للاشتقاق عند x=-1

(3)- جد $\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{R}$

إذا كان:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{x}}^2+5& \mathrm{x}\ge 1\\ \mathrm{ax}+\mathrm{b}& \mathrm{x}<1\end{array}$

إذا كانت قابلة للاشتقاق عند x=1

$\begin{array}{rl}& \underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}2\mathrm{x}+5=2\left(1\right)+5=7\\ & \underset{\mathrm{x}\to 1}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to -1}{lim}\mathrm{ax}+\mathrm{b}=\mathrm{a}\left(1\right)+\mathrm{b}=\mathrm{a}+\mathrm{b}\\ & \mathrm{a}+\mathrm{b}=7\dots \dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{'}\mathrm{f}\left(1\right)& =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{2(1+\mathrm{\Delta x})+5-7}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{2+2\mathrm{\Delta x}+5-7}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=2={\mathrm{L}}_1\\ \text{'}\mathrm{f}\left(1\right)& =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{\mathrm{a}(1+\mathrm{\Delta x})+\mathrm{b}-7}{\mathrm{\Delta x}}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{\mathrm{a}+\mathrm{a\Delta x}+\mathrm{b}-7}{\mathrm{\Delta x}}\mathrm{a}+\mathrm{b}=7\\ & =\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{7+\mathrm{a\Delta x}-7}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 1}{lim}\frac{\mathrm{a\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=\mathrm{a}={\mathrm{L}}_2\end{array}$

$$\begin{gathered} {\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2 \\ \mathrm{a}=2 \\ \mathrm{a}+\mathrm{b}=7\Rightarrow 2+\mathrm{b}=7\to \mathrm{b}=7-2 \\ \mathrm{b}=5 \end{gathered}$$

الدالة قابلة للاشتقاق.

(4)-

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}\\ & \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=|2\mathrm{x}-6|\end{array}$

هل الدالة قابلة للاشتقاق عند 3=x

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{cc}2\mathrm{x}-6& \mathrm{x}\ge 3\\ 6-2\mathrm{x}& \mathrm{x}<3\end{array}$

$\begin{array}{rr}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}-6& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=6-2\mathrm{x}\\ \mathrm{f}\left(3\right)=2\left(3\right)-6=0& \mathrm{f}\left(3\right)=6-2\left(3\right)=0\end{array}$

الدالة معرفة عند 3=x

$\begin{array}{rl}& {}^{\text{'}}\mathrm{f}\left(3\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(3+\mathrm{\Delta x})-\mathrm{f}\left(3\right)}{\mathrm{\Delta x}}\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{f}\left(3\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{6-2(3+\mathrm{\Delta x})-0}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{6-6-2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}\\ & \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{-2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=-2={\mathrm{L}}_2\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{f}\left(3\right)=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{2(3+\mathrm{\Delta x})-6-0}{\mathrm{\Delta x}}\\ & \underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{6+2\mathrm{\Delta x}-6}{\mathrm{\Delta x}}=\underset{\mathrm{\Delta x}\to 0}{lim}\frac{2\mathrm{\Delta x}}{\mathrm{\Delta x}}=2={\mathrm{L}}_1\\ & {\mathrm{L}}_1\ne {\mathrm{L}}_2\end{array}$

الدالة غير قابلة للاشتقاق عند 3=x

(5)- باستخدام قواعد المشتقة جد المشتقة الأولى لكل مما يأتي إزاء العدد المؤشر أمامها:

1) عند 1=x $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+8$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+8\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(2\right)\left(3\right)\mathrm{x}+5=6\mathrm{x}+5\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(1\right)=6\left(1\right)+5=11\end{array}$

2) عند 1-=x $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\mathrm{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}\cdot 2\mathrm{x}+1\cdot \sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{2{\mathrm{x}}^2}{2\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+3}(\mathrm{x}=-1\text{)}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt{4}}+\sqrt{4}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{1}{2}+2=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\\ & \text{'}\mathrm{y}=\frac{5}{2}\\ & \end{array}$

3) عند 0 = x $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+3}{{\mathrm{x}}^2+1}\right)}^4$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{({\mathrm{x}}^2+3)}^4}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^4}\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={({\mathrm{x}}^2+3)}^4{({\mathrm{x}}^2+1)}^4 \\ \begin{array}{rl}& \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={({\mathrm{x}}^2+3)}^4\cdot [-4{({\mathrm{x}}^2+1)}^{-6}(2\mathrm{x}\left)\right]+{({\mathrm{x}}^2+1)}^4\cdot \left[4{({\mathrm{x}}^2+3)}^{-3}\right(2\mathrm{x}\left)\right]\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=[-8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^4{({\mathrm{x}}^2+1)}^{-5}]+\left[8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+1)}^{-4}{({\mathrm{x}}^2+3)}^3\right]\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{-8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^4+8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^3}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^5{({\mathrm{x}}^2+1)}^4}\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{8\mathrm{x}{({\mathrm{x}}^2+3)}^3[-{\mathrm{x}}^2-3+1]}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^9}\\ & \text{'}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{8\left(0\right){\left(\right(0{)}^2+3)}^3[-(0{)}^2-3+1]}{{\left(\right(0{)}^2+1)}^9}=\frac{0}{1}=0\end{array} \end{gathered}$$

4) عند 1-=x $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{{({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})}^2}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=({\mathrm{x}}^2+1){({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})}^{-2}\\ & {}^{\text{'}}\mathrm{y}=({\mathrm{x}}^2+1)(-2({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^{-3}))\left({({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})}^{-2}\right(2\mathrm{x}-1\left)\right(2\mathrm{x}\left)\right)\\ & =(1+1)(-2)(1-(-1{)}^{-3}\left(2\right(-1)-1)+(1-(-1{)}^{-2}\left(2\right(-1\left)\right)\\ & \text{'}\mathrm{y}=\left(2\right)(-2)\left(2{)}^{-3}\right(-2-1)+(1+1{)}^{-2}(-2)\\ & =-4\left(\frac{1}{2}\right)(-3)+\frac{1}{2^2}(-2)=\frac{+12}{8}-\frac{2}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1\end{array}$

(6)- $\mathrm{y}=\sqrt[3]{3\mathrm{x}+5}$ جد x , y عند x=1

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& y=(3x+5{)}^{\frac{1}{3}}\\ & \text{'}y=\frac{1}{3}(3x+5{)}^{\frac{1}{3}-1}(3)\to \text{'}y=(3x+5{)}^{\frac{2}{3}}\to \text{'}y=\frac{1}{(3x+5{)}^{\frac{2}{3}}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \text{'}y=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x+5{)}^2}}\to \text{'}y=\frac{1}{\sqrt[3]{(8{)}^2}}\\ & \text{'}y=\frac{1}{\sqrt[3]{{2^3)}^2}}\to \text{'}y=\frac{1}{\sqrt[3]{2^6}}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=(2\mathrm{x}+5{)}^{-\frac{2}{3}} \\ \begin{array}{rl}& \text{'}\text{'}\mathrm{y}=-\frac{2}{3}(3\mathrm{x}+5{)}^{-\frac{2}{3}-1}(3)\to \text{'}\text{'}\mathrm{y}=-\frac{2}{3}(3\mathrm{x}+5{)}^{-\frac{1}{3}}\left(3\right)\\ & \text{'}\text{'}\mathrm{y}=-\frac{2}{3}(3\mathrm{x}+5{)}^{-\frac{5}{3}}(3)\to \text{'}\text{'}\mathrm{y}=\frac{-2}{\sqrt[3]{(3\mathrm{x}+5{)}^5}}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \text{'}\text{'}\mathrm{y}=\frac{-2}{\sqrt[3]{8^5}}\to \text{'}\text{'}\mathrm{y}=\frac{-2}{\sqrt[3]{{\left(2^3\right)}^6}}\\ & \text{'}\text{'}\mathrm{y}=\frac{-2}{\sqrt[3]{2^{12}}}\to \text{'}\text{'}\mathrm{y}=\frac{-2}{2^5}=\frac{-2}{32}=\frac{-1}{16}\end{array} \\ \text{or }\text{'}\text{'}\mathrm{y}=\frac{-2}{\sqrt[3]{{\left(2^3\right)}^5}}=\frac{-2}{\sqrt[3]{{\left(2^5\right)}^3}}=\frac{-2}{2^5}=\frac{-1}{2^{5-1}}=\frac{-1}{2^4}=\frac{-1}{16} \end{gathered}$$