حلول الأسئلة

السؤال

جد الغاية لكل مما يأتي:  lim x 1 ( 3 x 4 )

الحل

lim x 1 ( 3 x 4 ) = 3 × 1 4 = 1

مشاركة الحل

تمارين (1-5)

تمارين (1-5)

(1)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- limx3(x2x6)(x3)

limx3(x3)(x+2)(x3)=limx3x+2=3+2=5

ب- limx1(3x4)

limx1(3x4)=3×14=1

ج- limx1(x31)(2x2)

limx1(x31)(2x2)=limx1(x1)(x2+x+1)2(x1)=limx1(x2+x+1)2=12+1+12=32=1.5

د- limx4x216x+53, {x:x5}/{4}

limx4x216x+53×x+5+3x+5+3=limx4(x216)(x+5+3)(x+59)=limx4(x4)(x+4)(x+5+3)(x4)=(4+4)(x+5+3)=(8)(3+3)=(8)×(6)=48

هـ- limx3x22x3x29

limx4(x3)(x+1)(x3)(x+3)=limx4(x+1)(x+3)=4+14+3=57

(2)- إذا كان: f:RR

جد limx1f(x) حيث f(x)=|x1|

f(x)={x21x1(x1)x<1

limx1f(x)=limx1x1=11=0=L1limx1F(x)=limx1(11)=0=L2

الغاية موجودة لأن L1=L2

(3)- f:RR

f(x)={5x2x>1x2+3x<14x=1

أ- ارسم المخطط البياني لهذه الدالة.

إجابة 3

ب- هل للدالة غاية عند 1- بين ذلك؟

limx15x2=5(1)2=51=4=L1limx1x2+3=(1)2+3=1+3=4=L2

الغاية موجودة لأن L1=L2

ج- جد limx2f(x)

limx25x2=5(2)2=52=3

(4)- f(x)={x2+ax>16x=14x+bx<1

إذا كانت limx1f(x)=3 جد قيمة a,bR

limx1f(x)=limx1f(x)=3limx1f(x)=limx1x2+a(1)2+a=31+a=3a=2limx1f(x)=limx14x+b4(1)+b=34+b=3b=7

(5)- إذا كان:

g(x)=3x2+2x3f(x)=x2+6

جد:

limx0(g/f)(x)limx0(g.f)(x)

limx0g(x)f(x)=limx0(3x2+2x3)limx0(x2+6)=3(0)2+2(0)3(0)2+6=36=12

limx0g(x)f(x)=limx0g(x)limx0f(x)=limx0(3x2+2x3)limx0(x2+6)=3×6=18

(6)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- limx0tanx2sin2x

limx0tan2xsin2x=limx0sin2xcos2xsin2x=limx0sin2xcos2xsin2x=limx01cos2x=1lim(cosx)2=112=11=1

limx0tan2xx2sin2xx2=limx0tanxxtanxxsinxxsinxx=limx0tanxxtanxxlimx0sinxxsinxx

=limx0tanxxlimx0tanxxlimx0sinxxlimx0sinxx=1×11×1=1

ب- limx0[sin2x+tan4x6x]

limx0(2sinxcosx+tan4x6x)=2limx0sinxlimx0cosx+limx0tan4x6x=2limx0sinxlimx0cosx+46limtan4x4x=2×0×1+46×1=46

ج- limx01cosxx2

limx01cosxx2=limx01cosxx21+cosx1+cosx=limx01cos2xx2(1+cosx)=limx0sin2xx2(1+cosx)=limx0sin2xx2limx0x2(1+cosx)x2=(limx0sinxx)2limx0(1+cosx)=121+1=12

د- limx0[3xsin2x+1cos6xsin2x]

1cos6x=1(12sin23x)=11+2sin23x=2sin23x=limx03xsin2x+limx02sin23xsin2x=32limx02xsin2x+2limx0sin23xsin2x=32limx01sin2x+2limx0sin23xx2sin2xx2

=32×11+92limx0sin23x9x2sin2xx2=32+18limx0[sin3x3x]2[sinxx]2=32+1811=32+18=3+362=392

مشاركة الدرس

السؤال

جد الغاية لكل مما يأتي:  lim x 1 ( 3 x 4 )

الحل

lim x 1 ( 3 x 4 ) = 3 × 1 4 = 1

تمارين (1-5)

تمارين (1-5)

(1)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- limx3(x2x6)(x3)

limx3(x3)(x+2)(x3)=limx3x+2=3+2=5

ب- limx1(3x4)

limx1(3x4)=3×14=1

ج- limx1(x31)(2x2)

limx1(x31)(2x2)=limx1(x1)(x2+x+1)2(x1)=limx1(x2+x+1)2=12+1+12=32=1.5

د- limx4x216x+53, {x:x5}/{4}

limx4x216x+53×x+5+3x+5+3=limx4(x216)(x+5+3)(x+59)=limx4(x4)(x+4)(x+5+3)(x4)=(4+4)(x+5+3)=(8)(3+3)=(8)×(6)=48

هـ- limx3x22x3x29

limx4(x3)(x+1)(x3)(x+3)=limx4(x+1)(x+3)=4+14+3=57

(2)- إذا كان: f:RR

جد limx1f(x) حيث f(x)=|x1|

f(x)={x21x1(x1)x<1

limx1f(x)=limx1x1=11=0=L1limx1F(x)=limx1(11)=0=L2

الغاية موجودة لأن L1=L2

(3)- f:RR

f(x)={5x2x>1x2+3x<14x=1

أ- ارسم المخطط البياني لهذه الدالة.

إجابة 3

ب- هل للدالة غاية عند 1- بين ذلك؟

limx15x2=5(1)2=51=4=L1limx1x2+3=(1)2+3=1+3=4=L2

الغاية موجودة لأن L1=L2

ج- جد limx2f(x)

limx25x2=5(2)2=52=3

(4)- f(x)={x2+ax>16x=14x+bx<1

إذا كانت limx1f(x)=3 جد قيمة a,bR

limx1f(x)=limx1f(x)=3limx1f(x)=limx1x2+a(1)2+a=31+a=3a=2limx1f(x)=limx14x+b4(1)+b=34+b=3b=7

(5)- إذا كان:

g(x)=3x2+2x3f(x)=x2+6

جد:

limx0(g/f)(x)limx0(g.f)(x)

limx0g(x)f(x)=limx0(3x2+2x3)limx0(x2+6)=3(0)2+2(0)3(0)2+6=36=12

limx0g(x)f(x)=limx0g(x)limx0f(x)=limx0(3x2+2x3)limx0(x2+6)=3×6=18

(6)- جد الغاية لكل مما يأتي:

أ- limx0tanx2sin2x

limx0tan2xsin2x=limx0sin2xcos2xsin2x=limx0sin2xcos2xsin2x=limx01cos2x=1lim(cosx)2=112=11=1

limx0tan2xx2sin2xx2=limx0tanxxtanxxsinxxsinxx=limx0tanxxtanxxlimx0sinxxsinxx

=limx0tanxxlimx0tanxxlimx0sinxxlimx0sinxx=1×11×1=1

ب- limx0[sin2x+tan4x6x]

limx0(2sinxcosx+tan4x6x)=2limx0sinxlimx0cosx+limx0tan4x6x=2limx0sinxlimx0cosx+46limtan4x4x=2×0×1+46×1=46

ج- limx01cosxx2

limx01cosxx2=limx01cosxx21+cosx1+cosx=limx01cos2xx2(1+cosx)=limx0sin2xx2(1+cosx)=limx0sin2xx2limx0x2(1+cosx)x2=(limx0sinxx)2limx0(1+cosx)=121+1=12

د- limx0[3xsin2x+1cos6xsin2x]

1cos6x=1(12sin23x)=11+2sin23x=2sin23x=limx03xsin2x+limx02sin23xsin2x=32limx02xsin2x+2limx0sin23xsin2x=32limx01sin2x+2limx0sin23xx2sin2xx2

=32×11+92limx0sin23x9x2sin2xx2=32+18limx0[sin3x3x]2[sinxx]2=32+1811=32+18=3+362=392