جد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 400، 100 وتقبل القسمة على 3.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}=25 , \mathrm{d}=21-25=-4 ,\hspace{0.17em}\mathrm{S}=-14 , \mathrm{n}=?\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\\ & -14=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\times 25+(\mathrm{n}-1\left)\right(-4\left)\right]\\ & -2\times 14=\mathrm{n}(50-4(\mathrm{n}-1\left)\right)\\ & -28=\mathrm{n}(50-4\mathrm{n}+4)\to -28=\mathrm{n}(54-4\mathrm{n})\\ & -28=54\mathrm{n}-4{\mathrm{n}}^2\to 4{\mathrm{n}}^2-54\mathrm{n}-28=0\\ & \frac{1}{2}(4{\mathrm{n}}^2-54\mathrm{n}-28=0)\to 2{\mathrm{n}}^2-27\mathrm{n}-14=0\\ & (2\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}-14)=0\\ & 2\mathrm{n}+1=0\to \mathrm{n}-14=0\to \mathrm{n}=-14\end{array}$

تمارين (2-2)

(1)- لكل فقرة أربع إجابات واحدة منها فقط صحيحة، أختر الإجابة الصحيحة:

أولاً: المتتابعة <1+2n>

• أساسها = 2 وحدها العاشر = 13
• أساسها = 1 وحدها العاشر = 21
• أساسها = 2 وحدها العاشر = 21
• أساسها = 2 وحدها العاشر = 19

$$\begin{gathered} {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2\mathrm{n}+1 \to {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=2\cdot 1+1=2+1=3 \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_2=2\cdot 2+1=4+1=5\\ & \mathrm{d}={\mathrm{u}}_2-{\mathrm{u}}_1=5-3=2\\ & {\mathrm{u}}_{10}=\mathrm{a}+(10-1)\mathrm{d}=3+9\times 2=3+18=21\end{array} \end{gathered}$$

ثانياً: إذا كان <...,1-,2,x,8> متتابعة حسابية فإن ...=x:

• 3-
• 3
• 5
• 11

$\begin{array}{c}{\mathrm{u}}_4-{\mathrm{u}}_3={\mathrm{u}}_3-{\mathrm{u}}_2\\ -1-2=2-\mathrm{x}\\ \mathrm{x}=2+1+2=5\end{array}$

ثالثاً: إذا كان $<-3,\mathrm{x},11>$ متتابعة حسابية فإن ...=x:

• 7
• 4
• 8
• 14

$\begin{array}{rl}& 11-\mathrm{x}=\mathrm{x}-(-3)\\ & 11-\mathrm{x}=\mathrm{x}+3\\ & 11-3=\mathrm{x}+\mathrm{x}\\ & 2\mathrm{x}=8\\ & \mathrm{x}=\frac{8}{2}=4\end{array}$

رابعاً: في المتتابعة الحسابية $\mathrm{x}=\cdots <3,7,11,\dots ,\mathrm{x},63>$

• 15
• 33
• 59
• ليس أي مما سبق

$\begin{array}{rl}& 7-3=63-\mathrm{n}\to 4=63-\mathrm{n}\to \mathrm{n}=63-4\\ & \mathrm{n}=59\end{array}$

(2)- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الحسابية التي فيها:

أولاً: 3 = a = -5 , d

$\begin{array}{c}{\mathrm{u}}_2=-5+3=-2 , {\mathrm{u}}_3=-2+3=1 , {\mathrm{u}}_4=1+3=4 , {\mathrm{u}}_5=4+3=7\\ <-5,-2,1,4,7,\dots \dots ..>\end{array}$

ثانياً: 4- = a = -20 , d

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_2=-20+(-4)=-24 , {\mathrm{u}}_3=-24+(-4)=-28\\ & {\mathrm{u}}_4=-28+(-4)=-32 , {\mathrm{u}}_5=-32+(-4)=-36\\ & <-20,-24,-28,-32,-36,\dots \dots >\end{array}$

ثالثاً: $\mathrm{a}=-3 , {\mathrm{U}}_{\mathrm{n}+1}={\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}+4$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}+1}={\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=4\\ & {\mathrm{u}}_{1+1}={\mathrm{u}}_1+4\\ & {\mathrm{u}}_2={\mathrm{u}}_1+4\\ & {\mathrm{u}}_1=-3\\ & {\mathrm{u}}_2=-3+4=1\\ & {\mathrm{u}}_3={\mathrm{u}}_2+4=1+4=5\\ & {\mathrm{u}}_4=5+4=9\\ & {\mathrm{u}}_5=9+4=13\end{array}$

رابعاً: (9-U_n = (5n

$\begin{array}{c}{\mathrm{u}}_1=5\times 1-9=5-9=-4 , {\mathrm{u}}_2=5\times 2-9=1 , {\mathrm{u}}_3=5\times 3-9=\underset{}{6}\\ {\mathrm{u}}_4=5\times 4-9=11 , {\mathrm{u}}_5=5\times 5-9=\underset{}{16}\\ ⟨-4,1,6,11,16,\dots \dots >\end{array}$

(3)- جد الحد السابع عشر من المتتابعة الحسابية <..... 9-,12-,15->

$\begin{array}{rl}\mathrm{d}={\mathrm{u}}_2-{\mathrm{u}}_1\to \mathrm{d}=-12-(-15)& =-12+15\\ & =15-12\\ & =3\\ \mathrm{a}=-15 , \mathrm{d}=3 , {\mathrm{u}}_{17}& =\mathrm{a}+16\mathrm{d}\\ & =-15+16\times 3\\ & =-15+48\\ & =48-15\to {\mathrm{u}}_{17}=33\end{array}$

(4)- جد عدد حدود المتتابعة الحسابية < 55,...,14-,17-,20-> ثم جد مجموعها.

نستخرج الأساس:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{d}=-17-(-20)=-17+20\\ & \mathrm{d}=20-17=3\end{array}$

نطبق القانون:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\\ & 55=20+(\mathrm{n}-1)\times 3\\ & 55+20=3\mathrm{n}-3\\ & 3\mathrm{n}=75+3\to 3\mathrm{n}=78\to \mathrm{n}=\frac{78}{3}=26\end{array}$

(5)- $⟨{\mathrm{x}}^2+1 , 2{\mathrm{x}}^2+1 , 2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+3 ,\dots ⟩$ متتابعة حسابية، جد قيمة X وما حدها السابع؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{n}}_2-{\mathrm{n}}_1={\mathrm{n}}_3-{\mathrm{n}}_2\\ & 2{\mathrm{x}}^2+1-({\mathrm{x}}^2+1)=2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+3-(2{\mathrm{x}}^2+1)\\ & 2{\mathrm{x}}^2+1-{\mathrm{x}}^2 , 1=2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+3-2{\mathrm{x}}^2-1\\ & {\mathrm{x}}^2=\mathrm{x}+2\to {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2=0\\ & (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)=0\\ & (\mathrm{x}-2)=0\text{OR}(\mathrm{x}+1)=0\\ & \mathrm{x}=2\text{OR}\mathrm{x}=-1\end{array}$

نعوض مجموعة الحل في المتتابعة الأصلية فتظهر لنا متتابعتان.

المتتابعة الأولى:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{x}=-1\\ & <1+1,2+1,2-1+3,\dots \dots >\\ & <2,3,4,\dots \dots .>\\ & \mathrm{a}=2 , \mathrm{d}=1\\ & {\mathrm{u}}_7=\mathrm{a}+6\mathrm{d}\\ & =2+6 , 1=8\end{array}$

المتتابعة الثانية:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{x}=2\\ & <5,9,13,\dots \dots >\\ & \mathrm{a}=5 , \mathrm{d}=4\\ & {\mathrm{u}}_7=5+6 , 4\\ & =5+24=29\end{array}$

(6)- إذا أدخلنا ستة أوساط حسابية بين 30 ,2 فما هذه الأوساط؟

• الحدود الجديدة = 6
• الحدود القديمة = 2
• الكلية = 8

$\begin{array}{c}\mathrm{a}=2 , {\mathrm{u}}_8=30\\ {\mathrm{u}}_8=\mathrm{a}+7\mathrm{d}\\ 30=2+7\mathrm{d}\\ 30-2=7\mathrm{d}\\ 28=7\mathrm{d}\\ \frac{28}{7}=\mathrm{d}\\ 4=\mathrm{d}\\ \mathrm{a}=2 , 4=\mathrm{d} , \mathrm{d}=4\\ {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=⟨2,[6,10,14,18,22,26],30⟩\end{array}$

(7)- جد المتتابعة الحسابية التي حدها الخامس = 8 وحدها الثامن عشر = 31-

معادلتين آنيتين:

$\begin{array}{c}{\mathrm{u}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{a}+4\mathrm{d}=8\dots .\dots .1\\ \frac{{\mathrm{u}}_{18}=\mathrm{a} ,\hspace{0.17em}17\mathrm{d}=\pm 31\dots \dots .2}{0-13\mathrm{d}=39}\\ \mathrm{d}=\frac{39}{-13}=-3\\ \mathrm{a}+4(-3)=8\\ \mathrm{a}-12=8\to \mathrm{a}=8+12=20\\ \mathrm{d}=-3 , \mathrm{a}=20\\ ⟨20,17,14,11,8,\dots \dots ⟩\end{array}$

(8)- أي حد في المتتابعة الحسابية <...,1-,5-,9-> يكون مساوياً 87، هل يوجد حد في هذه المتتابعة = 333؟

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}=-5-(-9)=-5+9=9-5=4 , \mathrm{a}=-9\\ & {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\times 4\\ & 87=-9+4\mathrm{n}-4\to 87+9+4=4\mathrm{n}\to 100=4\mathrm{n}\end{array}$

الحد الخامس والعشرين الذي قيمته 78

$\begin{array}{rl}& 333=-9+4\mathrm{n}-4\Rightarrow 333+9+4=4\mathrm{n}-346=4\mathrm{n}\\ & \mathrm{n}=\frac{346}{4}=86\frac{1}{2}\notin {\mathrm{Z}}^{+}\end{array}$

لا يوجد حد قيمته 333

(9)- متتابعة حسابية حدها الرابع = 1- وحاصل ضرب حديها الثاني والثالث = 10 فما حدها العاشر؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_4=\mathrm{a}+3\mathrm{d}=-1\dots \dots ..1\\ & {\mathrm{u}}_2\times {\mathrm{u}}_2=(\mathrm{a}+\mathrm{d})(\mathrm{a}+2\mathrm{d})=10\dots \dots 2\\ & \mathrm{a}=1-3\mathrm{d}\dots \dots .\dots \left(3\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (-1-3\mathrm{d}+\mathrm{d})(-1-3\mathrm{d}+2\mathrm{d})=10\\ & (-2\mathrm{d}-1)(-\mathrm{d}-1)=10\\ & -(2\mathrm{d}+1)(-1)(\mathrm{d}+1)=10\\ & (2\mathrm{d}+1)(\mathrm{d}+1)=10\\ & 2^2+3\mathrm{d}+1=10\\ & 2{\mathrm{d}}^2+3\mathrm{d}-9=0\to 2{\mathrm{d}}^2+3\mathrm{d}+1-10=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{either }2\mathrm{d}-3=0\to 2\mathrm{d}=3\to \mathrm{d}=\frac{3}{2}\\ & \text{or}\mathrm{d}+3=0\to \mathrm{d}=-3\\ & \mathrm{a}=-1-3\times -3\\ & \mathrm{a}=-1+9\left(3\right)\\ & \mathrm{a}=8\\ & {\mathrm{u}}_{10}=\mathrm{a}+9\mathrm{d}=8+9(-3)=8-27=-19\\ & \mathrm{d}=\frac{3}{2}\\ & \mathrm{a}=-1-3\times \frac{3}{2}\\ & \mathrm{a}=-1-\frac{9}{2}=-1-4\frac{1}{2}=-5\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}\\ & {\mathrm{u}}_{10}=\mathrm{a}+9\mathrm{d}=-\frac{11}{2}+9\times \frac{3}{2}=\frac{27}{2}-\frac{11}{2}=\frac{16}{2}=\underset{}{8}\end{array}$

المتتابعة الأولى:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=8 , \mathrm{d}=-3 , {\mathrm{u}}_{10}=-19 \\ ⟨8,5,2,-1,\dots ,-19⟩ \end{gathered}$$

المتتابعة الثانية:

(10)- إذا كانت <25,A,7,...,B> متتابعة حسابية وكانت 2 + B = 5A فما قيمة A، B؟ وما عدد حدود المتتابعة؟

$\begin{array}{rl}& 7-\mathrm{A}=25-\mathrm{B}\to \mathrm{B}=\mathrm{A}+18\dots ...\text{(1)}\\ & \mathrm{B}=5\mathrm{A}+2\\ & 5\mathrm{A}+2=\mathrm{A}+18\\ & 5\mathrm{A}-\mathrm{A}=18-2\\ & 4\mathrm{A}=16\\ & \mathrm{B}=4+18=22\\ & ⟨4,7,\dots ..22,25>\\ & {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=25 , \mathrm{d}=7-4=3 , \mathrm{a}=4\\ & 25=4+(\mathrm{n}-1)\times 3\to 25=4+3\\ & 25-4=3(\mathrm{n}-1)\to 21=3(\mathrm{n}-1)\\ & \Rightarrow \frac{21}{3}=\frac{3}{3}(\mathrm{n}-1)7=(\mathrm{n}-1)\end{array}$

عدد الحدود 8

(11)- أثبت أن مجموع n حدا الأولى من الأعداد الفردية الموجبة <.... (1-2n),...,1,3,5> هو n²

^{$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}=1 , \mathrm{d}=3-1=2\\ & {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}\\ & {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=1+(\mathrm{n}-1)\times 2\to {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=1+2\mathrm{n}-2\\ & \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}(\mathrm{a}+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}) =2\mathrm{n}-1\\ & \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}(1+2\mathrm{n}-1)\to \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}\times 2\mathrm{n}\to \mathrm{S}={\mathrm{n}}^2\\ & \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\times 1+(\mathrm{n}-1)\times 2]\\ & \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}(2+2\mathrm{n}-2)\Rightarrow \mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{2}\times 2\mathrm{n}={\mathrm{n}}^2\end{array}$}

(12)- كم حداً يؤخذ من المتتابعة الحسابية <...,25,21,17> ابتداء من حدها الأول ليكون مجموعها = 14-؟

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}=2 , \mathrm{d}=5-2=3 ,{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=29 , \mathrm{n}=? , \mathrm{S}=?\\ & 29=2+(\mathrm{n}-1)\times 3\\ & 29=2+3\mathrm{n}-3\\ & 3\mathrm{n}=30\\ & \mathrm{n}=10\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}(\mathrm{a}+{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}})\to \mathrm{S}=\frac{10}{2}(2+29)=5\left(31\right)\to \mathrm{S}=155\end{array}$

(13)- جد مجموع الأعداد الصحيحة المحصورة بين 400، 100 وتقبل القسمة على 3.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}=25 , \mathrm{d}=21-25=-4 ,\hspace{0.17em}\mathrm{S}=-14 , \mathrm{n}=?\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1\left)\mathrm{d}\right]\\ & -14=\frac{\mathrm{n}}{2}[2\times 25+(\mathrm{n}-1\left)\right(-4\left)\right]\\ & -2\times 14=\mathrm{n}(50-4(\mathrm{n}-1\left)\right)\\ & -28=\mathrm{n}(50-4\mathrm{n}+4)\to -28=\mathrm{n}(54-4\mathrm{n})\\ & -28=54\mathrm{n}-4{\mathrm{n}}^2\to 4{\mathrm{n}}^2-54\mathrm{n}-28=0\\ & \frac{1}{2}(4{\mathrm{n}}^2-54\mathrm{n}-28=0)\to 2{\mathrm{n}}^2-27\mathrm{n}-14=0\\ & (2\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}-14)=0\\ & 2\mathrm{n}+1=0\to \mathrm{n}-14=0\to \mathrm{n}=-14\end{array}$