جد قياس كل مما يأتي: $\mathrm{m}\widehat{BE}$ 

$\begin{array}{rl}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BDE}& =\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BE}}\\ 80& =\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BE}}⟹\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BE}}=80\times 2=160\end{array}$

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جد قياس كل مما يأتي:

(1)- $\mathrm{m}\widehat{BE}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BDE}& =\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BE}}\\ 80& =\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BE}}⟹\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BE}}=80\times 2=160\end{array}$

(2)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{AC}}\Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\times 25=12.5\end{array}$

(3)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CAB}$

$\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{CB}}\Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\times 60=30$

(4)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}\Rightarrow & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}+\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CAB}=180\\ & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+12.5+90=180\\ & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}+102.5=180\Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=180+102.5=77.5\end{array}$

(5)- $m\widehat{BN}$

$\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BN}}\Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BCN}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BN}}\Rightarrow 40=\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BN}}\Rightarrow \mathrm{m}\widehat{\mathrm{BN}}=40\times 2=80$

(6)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CKA}$

$\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CKA}=\mathrm{m}\widehat{\mathrm{AC}}={90}^{\circ }$

(7)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{MNB}$

$\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{MNB}=\frac{1}{2}\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BN}}=\frac{1}{2}\mathrm{m}2\widehat{56}={128}^{\circ }$

(8)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CBA}$

$\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{CBA}=\frac{1}{2}\times 55=27{.5}^{\circ }$

(9)- $m\widehat{BN}$

$\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BN}}=256$

(10)- إذا علمت أن M مركز الدائرة 1 و$\overline{\mathrm{MK}}$ هو قطر الدائرة 2، برهن أن $\overline{\mathrm{KA}},\overline{\mathrm{KB}}$ مماسان للدائرة 1.

زاوية محيطية تواجه القطر $\overline{\mathrm{MK}}$

$\text{KAM}=90°$

$\text{KBM}=90°$

$\overline{\mathrm{KA} }, \overline{\mathrm{KB}}$ هما مماسان للدائرة $\overline{\mathrm{KA}}=\overline{\mathrm{KB}}\Rightarrow 1$

جد قياس كل مما يأتي:

(11)- $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{KNA}$

مبرهنة الزاوية الداخلية في الدائرة:

$\begin{array}{rl}\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{KNA}& =\frac{1}{2}(\mathrm{m}\widehat{\mathrm{AK}}+\mathrm{m}\widehat{\mathrm{BC}})\\ \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{KNA}& =\frac{1}{2}(204+20)=\frac{1}{2}\left(224\right)={112}^{\circ }\end{array}$

(12)- $\mathrm{m}\hat{\mathrm{X}}$

مبرهنة الزاوية الخارجية في الدائرة:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{C}=\frac{1}{2}(\mathrm{m}\widehat{\mathrm{AB}}-\mathrm{m}\widehat{\mathrm{KN}})\\ & 25=\frac{1}{2}(\mathrm{m}\mathrm{\angle }\hat{\mathrm{x}}-30)\Rightarrow [25=\frac{1}{2}(\mathrm{m}\mathrm{\angle }\hat{\mathrm{x}}-30\left)\right]\times 2\\ & 50=(\mathrm{m}\mathrm{\angle }\hat{\mathrm{x}}-30)\Rightarrow \mathrm{m}\mathrm{\angle }\hat{\mathrm{x}}=50+30=80\end{array}$