تحد: في الرسم المجاور M منتصف $\overline{\mathrm{AB}}$ وK منتصف $\overline{\mathrm{HB}}$ ، الزوايا:

$\mathrm{\angle }\mathrm{Z} , \mathrm{\angle }\mathrm{ABH} , \mathrm{\angle }\mathrm{C}$

قائمة، برهن أن ${\left(\frac{\mathrm{KZ}}{\mathrm{CM}}\right)}^2=\frac{(\mathrm{BZ}{)}^2+(\mathrm{ZH}{)}^2}{(\mathrm{BC}{)}^2+(\mathrm{CA}{)}^2}$ .

• نفرض A1 مساحة المثلث BZH وA2 مساحة المثلث ABC
• المثلثان KZB , KHZ متساوي الياقين فيه KZ=BZ , KZ=HZ
• المثلثان ACM , MCB متساوي الياقين فيه CM=BC , CM=AC

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{\frac{1}{2}\times BZ\times HZ}{\frac{1}{2}\times BC\times AC}=\frac{KZ\times KZ}{CM\times CM}=\frac{(KZ{)}^2}{(CM{)}^2}={\left(\frac{KZ}{CM}\right)}^2$

فكر وأكتب

إذا علمت أن طول القطعة المستقيمة الواصلة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر تساوي نصف طول الوتر أجب عن السؤال 14.

(14)- تحدٍ: في الرسم المجاور M منتصف $\overline{\mathrm{AB}}$ وK منتصف $\overline{\mathrm{HB}}$، الزوايا:

$\mathrm{\angle }\mathrm{Z} , \mathrm{\angle }\mathrm{ABH} , \mathrm{\angle }\mathrm{C}$ قائمة، برهن أن ${\left(\frac{\mathrm{KZ}}{\mathrm{CM}}\right)}^2=\frac{(\mathrm{BZ}{)}^2+(\mathrm{ZH}{)}^2}{(\mathrm{BC}{)}^2+(\mathrm{CA}{)}^2}$.

• نفرض A1 مساحة المثلث BZH وA2 مساحة المثلث ABC
• المثلثان KZB , KHZ متساوي الياقين فيه KZ=BZ , KZ=HZ
• المثلثان ACM , MCB متساوي الياقين فيه CM=BC , CM=AC

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{\frac{1}{2}\times BZ\times HZ}{\frac{1}{2}\times BC\times AC}=\frac{KZ\times KZ}{CM\times CM}=\frac{(KZ{)}^2}{(CM{)}^2}={\left(\frac{KZ}{CM}\right)}^2$

ما تستطيع من تناسبات إذا علمت أن $\overline{\mathrm{MK}}//\overline{\mathrm{AB}}$ في الشكل المجاور.

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{HA}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{HB}}{\mathrm{BK}}\\ & \overline{MK}//\overline{AB}\end{array}$