ABC مثلث حيث $A(6,0) , B(-3,\frac{3}{2}) , C(3,-6)$ ، جد صورته بعد تصغيره بمعامل $\frac{1}{3}$ ، علماً أن مركز التناسب هو نقطة الأصل.

نقوم بضرب معامل التناسب الهندسي في إحداثيات الرؤوس.

$$\begin{gathered} A(6,0)\to A\text{'}(\frac{1}{3}\times 6,\frac{1}{3}\times 0)\to A\text{'}(2,0) \\ \begin{array}{rl}& B(-3,\frac{3}{2})\to B\text{'}(\frac{1}{3}\times -3,\frac{1}{3}\times \frac{3}{2})\to B\text{'}(-1,\frac{1}{2})\\ & C(3,-6)\to C\text{'}(\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}\times -6)\to C\text{'}(1,-2)\end{array}\begin{array}{}\\ \end{array} \end{gathered}$$

تأكد من فهمك

(1)- جد طول القطعة المستقيمة المجهولة في الأشكال الآتية:

مبرهنة التناسب المثلثي.

$$\begin{gathered} \frac{RL}{LT}=\frac{RW}{WS} \\ \frac{16}{LT}=\frac{12}{9}\Rightarrow 12\left(LT\right)=16\times 9\Rightarrow \frac{12\left(LT\right)}{12}=\frac{144}{12}\Rightarrow LT=12 \end{gathered}$$

(2)-

مبرهنة التناسب المثلثي.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{RW}}{\mathrm{WS}}=\frac{\mathrm{RL}}{\mathrm{LT}}\\ & \frac{70}{\mathrm{x}}=\frac{42}{30}\end{array} \\ \mathrm{WS}=\frac{70\times 30}{42}=50 \end{gathered}$$

(3)- في المثلث MQ=12.5, MR=4.5 , MP=25 , MN=9 ،MQP هل $\overline{\mathrm{RN}}//\overline{\mathrm{QP}}$ أو لا؟ برر إجابتك.

حيث $\mathrm{N}\in \overline{\mathrm{MP} }, \mathrm{R}\in \overline{\mathrm{MQ}}$.

$\begin{array}{rl}& RQ=MQ-MR=12.5-4.5=8\\ & \frac{MR}{RQ}=\frac{4.5}{8}=\frac{45}{80}=\frac{9}{16}\\ & NP=MP-MN=25-9=16\end{array}$

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle MN}}{{\displaystyle NP}}=\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 16}} \\ \frac{MR}{RQ}=\frac{MN}{NP}=\frac{9}{16} \end{gathered}$$

عكس مبرهنة التناسب المثلثي.

(4)- في الرسم المجاور جد طول $\overline{\mathrm{KN} },\overline{ \mathrm{MN}}$.

$\begin{array}{rl}& \frac{MN}{NK}=\frac{AB}{BC}\\ & \frac{x}{x+4}=\frac{\frac{x}{2}}{x-4}\Rightarrow x(x-4)=\frac{x}{2}(x+4\\ & x^2-4x=\frac{x^2}{2}+\frac{4x}{2}\Rightarrow [x^2-4x=\frac{x^2}{2}+2x]\times 2\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 2x^2-8x=2\left(\frac{x^2}{2}\right)+4x\Rightarrow 2x^2-8x=x^2+4x\Rightarrow 2x^2-x^2-8x-4x=0\\ & x^2-12x=0\Rightarrow x(x-12)=0\end{array}$

إما $x=0$ تهمل أو $x-12=0\Rightarrow x=12$

$MN=x=12 , KN=x+4=12+4=16$

(5)- المثلثان ABC, HKM متشابهان، مساحة $\mathrm{△}\mathrm{ABC}$ ضعف مساحة $\mathrm{△}\mathrm{HKM}$، ما طول $\overline{\mathrm{AB}}$؟

نفرض أن مساحة ABC المثلث هي 2P ومساحة المثلث HKM هي p

$\begin{array}{rl}& 2P=ABC\\ & P=HKM\\ & \frac{2P^{}}{P^{}}=\frac{(AB{)}^2}{(8{)}^2}\Rightarrow AB=8\sqrt{2}\mathrm{cm}\end{array}$

(6)- المثلثان ABC, KMH متشابهان، جد مساحة ومحيط المثلث ABC علماً أن محيط المثلث KMH يساوي 18 cm ومساحته 15 cm².

نفرض A₁ مساحة المثلث KMH وA₂ مساحة المثلث ABC

$\begin{array}{rl}& \frac{A_1}{A_2}=\frac{(MH{)}^2}{(AB{)}^2}\Rightarrow \frac{15}{A_2}=\frac{(6{)}^2}{(8{)}^2}\Rightarrow \frac{15}{A_2}=\frac{36}{64}\\ & \frac{15}{A_2}=\frac{9}{16}\Rightarrow A_2\times 9=15\times 16\Rightarrow A_2=\frac{15\times 16}{9}\\ & A_2=\frac{80}{3}=26.6{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

نفرض P₁ محيط المثلث KMH وP₂ محيط المثلث ABC

$\begin{array}{rl}& \frac{P_1}{P_2}=\frac{MH}{AB}\Rightarrow \frac{8}{P_2}=\frac{6}{8}\Rightarrow P_2\times 6=8\times 8\\ & P_2=\frac{64}{6}=10.4\mathrm{cm}\end{array}$

(7)- ABC مثلث حيث $A(6,0) , B(-3,\frac{3}{2}) , C(3,-6)$، جد صورته بعد تصغيره بمعامل $\frac{1}{3}$، علماً أن مركز التناسب هو نقطة الأصل.

نقوم بضرب معامل التناسب الهندسي في إحداثيات الرؤوس.

$$\begin{gathered} A(6,0)\to A\text{'}(\frac{1}{3}\times 6,\frac{1}{3}\times 0)\to A\text{'}(2,0) \\ \begin{array}{rl}& B(-3,\frac{3}{2})\to B\text{'}(\frac{1}{3}\times -3,\frac{1}{3}\times \frac{3}{2})\to B\text{'}(-1,\frac{1}{2})\\ & C(3,-6)\to C\text{'}(\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}\times -6)\to C\text{'}(1,-2)\end{array}\begin{array}{}\\ \end{array} \end{gathered}$$