جد الحجم والمساحة الجانبية والكلية لـ: 

هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 6 cm وارتفاعه $\sqrt{33}\mathrm{cm}$ وارتفاعه الجانبي 6 cm.

$$\begin{gathered} L=6\mathrm{cm} , \mathrm{h}=\sqrt{33}\mathrm{cm} , \mathrm{\ell }=6\mathrm{cm} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{LA}=\frac{1}{2}\mathrm{P}\times \mathrm{\ell }\Rightarrow \mathrm{LA}=\frac{1}{2}(3\times 6)\times 6\Rightarrow \mathrm{LA}=54{\mathrm{cm}}^2\\ & \mathrm{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}(\mathrm{L}{)}^2\Rightarrow \mathrm{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}(36)\Rightarrow \mathrm{b}=9\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{TA}=\mathrm{LA}+\mathrm{b}\Rightarrow \mathrm{TA}=54+9\sqrt{3}\approx 69.3{\mathrm{cm}}^3\\ & \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{b}\times \mathrm{h}\Rightarrow \mathrm{v}=\frac{1}{3}\left(9\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{33}\right)\Rightarrow \mathrm{v}=9\sqrt{11}{\mathrm{cm}}^3\end{array} \end{gathered}$$

تأكد من فهمك

جد محيط ومساحة كل مضلع منتظم:

(1)-

$H=2 , L=2.9 , n=5$

• المحيط: $P=n\times L=5\times 2.9=14.9\mathrm{cm}$
• المساحة: $A=\frac{1}{2}L\times H\times n=\frac{1}{2}\times 2.9\times 2\times 5=14.9{\mathrm{cm}}^2$

(2)-

$H=2\sqrt{3} , L=3 , n=7$

• المحيط: $P=n\times L=7\times 3=21\mathrm{cm}$
• المساحة: $A=\frac{1}{2}L\times H\times n=\frac{1}{2}\times 3\times 2\sqrt{3}\times 7=21\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2$

(3)- جد الحجم والمساحة الجانبية والكلية لكل مما يأتي:

i) مخروط دائري قائم: مساحة قاعدته $225\pi {\mathrm{cm}}^2$، محيط قاعدته $30\pi {\mathrm{cm}}^{}$، ارتفاعه 20 cm، ارتفاعه الجانبي 25 cm.

$$\begin{gathered} b=225\pi , p=30\pi , h=20 , \ell =25 \\ \begin{array}{rl}& {\ell }^2=h^2+r^2\Rightarrow (25{)}^2=(20{)}^2+r^2\Rightarrow 625=400+r^2\\ & r^2=625-400\Rightarrow r^2=225\stackrel{}{⟹}=r=15\mathrm{cm}\\ & LA=\pi r\times \ell \Rightarrow LA=\pi \times 15\times 25=750\pi {\mathrm{cm}}^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& TA=\pi r\times \ell +\pi r^2\Rightarrow TA=750\pi +\pi (15{)}^2=750\pi +225\pi =975\pi {\mathrm{cm}}^2\\ & V=\frac{1}{3}\pi r^2\times h\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi (15{)}^2\times 20\Rightarrow V=\frac{1}{3}(225)\pi \times 20=75\pi \times 20=1500\pi {\mathrm{cm}}^3\end{array} \end{gathered}$$

ii) هرم مساحة قاعدته $54\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^{2}4$، محيط قاعدته 36 cm، ارتفاعه $3\sqrt{6}\mathrm{cm}$، ارتفاعه الجانبي 9 cm.

$$\begin{gathered} b=54\sqrt{3} , p=36 , h=3\sqrt{6} , \mathrm{\ell }=9 \\ \begin{array}{rl}& LA=\frac{1}{2}p\times \ell \Rightarrow LA=\frac{1}{2}\times 36\times 9=162{\mathrm{cm}}^2\\ & TA=\frac{1}{2}p\times \ell +b\Rightarrow TA=162+54\sqrt{3}=162+54\left(1.7\right)=162+91.8=253.8{\mathrm{cm}}^2\\ & V=\frac{1}{3}b\times h\Rightarrow V=\frac{1}{3}\times 54\sqrt{3}\times 3\sqrt{6}\Rightarrow V=54\sqrt{3}\times \sqrt{6}=54\sqrt{18}=54\times 3\sqrt{2}=108\sqrt{2}{\mathrm{cm}}^3\end{array} \end{gathered}$$

(4)- جد الحجم والمساحة الجانبية والكلية لكل مما يأتي:

i) هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 6 cm وارتفاعه $\sqrt{33}\mathrm{cm}$ وارتفاعه الجانبي 6 cm.

$$\begin{gathered} L=6\mathrm{cm} , \mathrm{h}=\sqrt{33}\mathrm{cm} , \mathrm{\ell }=6\mathrm{cm} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{LA}=\frac{1}{2}\mathrm{P}\times \mathrm{\ell }\Rightarrow \mathrm{LA}=\frac{1}{2}(3\times 6)\times 6\Rightarrow \mathrm{LA}=54{\mathrm{cm}}^2\\ & \mathrm{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}(\mathrm{L}{)}^2\Rightarrow \mathrm{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}(36)\Rightarrow \mathrm{b}=9\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{TA}=\mathrm{LA}+\mathrm{b}\Rightarrow \mathrm{TA}=54+9\sqrt{3}\approx 69.3{\mathrm{cm}}^3\\ & \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{b}\times \mathrm{h}\Rightarrow \mathrm{v}=\frac{1}{3}\left(9\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{33}\right)\Rightarrow \mathrm{v}=9\sqrt{11}{\mathrm{cm}}^3\end{array} \end{gathered}$$

ii) هرم قاعدته مربعة طول ضلعها 12 cm وارتفاعه 8 cm وارتفاعه الجانبي 10 cm.

$$\begin{gathered} L=12 , h=8 , \ell =10 \\ \begin{array}{rl}& b=L\times L=12\times 12=144{\mathrm{cm}}^2\\ & V=\frac{1}{3}b\times h\Rightarrow V=\frac{1}{3}\times 144\times 8=48\times 8=384{\mathrm{cm}}^3\end{array} \\ \begin{array}{rl}& P=4\times L=4\times 12=48\mathrm{cm}\\ & LA=\frac{1}{2}p\times \ell \Rightarrow LA=\frac{1}{2}\left(48\right)\times 10=24\times 10=240\mathrm{cm}\\ & TA=\frac{1}{2}p\times \ell +b\Rightarrow TA=240+144=384{\mathrm{cm}}^2\end{array} \end{gathered}$$

(5)- جد الحجم والمساحة الجانبية والكلية مستعملاً الأشكال أدناه.

i)

$$\begin{gathered} \ell =13\mathrm{cm} , r=5\mathrm{cm} , h=12\mathrm{cm} \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\times \mathrm{h}\Rightarrow \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }(5{)}^2\times 12\Rightarrow \mathrm{V}=\frac{1}{3}(25)\mathrm{\pi }\times 12=25\mathrm{\pi }\times 4=100\mathrm{\pi }{\mathrm{cm}}^3 \\ \mathrm{LA}=\mathrm{\pi r}\times \mathrm{\ell }\Rightarrow \mathrm{LA}=\mathrm{\pi }\times 5\times 13=65\mathrm{\pi }{\mathrm{cm}}^2 \\ \mathrm{TA}=\mathrm{\pi r}\times \mathrm{\ell }+{\mathrm{\pi r}}^2\Rightarrow \mathrm{TA}=65\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }(5{)}^2=65\mathrm{\pi }+25\mathrm{\pi }=90\mathrm{\pi }{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

ii)

$$\begin{gathered} \ell =? , r=3 , h=4 \\ \begin{array}{rl}& {\ell }^2=h^2+r^2\Rightarrow {\ell }^2=(4{)}^2+(3{)}^2\Rightarrow {\ell }^2=16+9=25\\ & {\ell }^2=25\stackrel{}{⟹}\ell =5\mathrm{cm}\\ & V=\frac{1}{3}\pi r^2\times h\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi (3{)}^2\times 4\Rightarrow V=\frac{1}{3}(9)\pi \times 4=3\pi \times 4=12\pi {\mathrm{cm}}^3\\ & LA=\pi r\times \ell \Rightarrow LA=\pi \times 3\times 5=15\pi {\mathrm{cm}}^2\\ & TA=\pi r\times \ell +\pi r^2\Rightarrow TA=15\pi +\pi (3{)}^2=15\pi +9\pi =24\pi {\mathrm{cm}}^2\end{array} \end{gathered}$$

iii)

$\begin{array}{rl}& (h{)}^2=9-3=6\Rightarrow h=\sqrt{6}\\ & LA=\pi \sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}\pi {\mathrm{cm}}^2\\ & TA=3\sqrt{3}\pi +\pi \left(3\right)=3\pi (\sqrt{3}+1){\mathrm{cm}}^2\\ & V=\frac{1}{3}\pi \left(3\right)\times \sqrt{6}=\sqrt{6}\pi {\mathrm{cm}}^3\end{array}\begin{array}{}\end{array}$

(6)- جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية لما يلي:

$$\begin{gathered} \ell =5 , h=3 , L=8 \\ b=L\times L=8\times 8=64{\mathrm{cm}}^2 \\ V=\frac{1}{3}b\times h\Rightarrow V=\frac{1}{3}\times \left(64\right)\times 3=64{\mathrm{cm}}^3 \\ P=4\times L=4\times 8=32\mathrm{cm} \\ \mathrm{LA}=\frac{1}{2}\mathrm{p}\times \mathrm{\ell }\Rightarrow \mathrm{LA}=\frac{1}{2}\left(32\right)\times 5=16\times 5=80{\mathrm{cm}}^2 \\ \mathrm{TA}=\frac{1}{2}\mathrm{p}\times \mathrm{\ell }+\mathrm{b}\Rightarrow \mathrm{TA}=80+64=144{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$