بين أن النقط الآتية: (4,7-) A (-3,5), B (2,7), C (1,9), D رؤوس متوازي الأضلاع.

باستعمال قانون المسافة بين نقطتين.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(2+3{)}^2+(7-5{)}^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ & \mathrm{DC}=\sqrt{(-4-1{)}^2+(7-9{)}^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ & \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\end{array}$

و AD=BC فالشكل متوازي أضلاع.

تدرب وحل التمرينات

(7)- أوجد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي:

(4,3-) ,i) (8,1)

$d=\sqrt{(-4-8{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$

(0,2) , ii) (6,-9)

$\begin{array}{rl}& d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & d=\sqrt{(0-6{)}^2+(2-(-9){)}^2}\\ & d=\sqrt{(-6{)}^2+(2+9{)}^2}\\ & d=\sqrt{(-6{)}^2+(11{)}^2}=\sqrt{36+121}=\sqrt{157}\end{array}$

(2-,6-) ,iii) (-2,4)

$\mathrm{d}=\sqrt{(-6+2{)}^2+(-2-4{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

(8)- أوجد نقطة المنتصف للأفرع (iii) ,(ii) ,(i) في السؤال 7.

i- $\begin{array}{rl}& M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\ & M=(\frac{8+(-4)}{2},\frac{1+3}{2})\\ & M=(\frac{4}{2},\frac{4}{2})=(2,2)\end{array}$

ii- $(\frac{6+0}{2},\frac{-9+2}{2})=(3,\frac{-7}{2})$

iii- $(\frac{-2-6}{2},\frac{4-2}{2})=(-4,1)$

(9)- باستعمال قانون المسافة بين نقطتين، أثبت أن النقط (2-,1-) A (1,-3), B (3,-4), C على استقامة واحدة.

$\begin{array}{rl}& AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(-4+3{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\\ & AC=\sqrt{(-1-1{)}^2+(-2+3{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\\ & BC=\sqrt{(-1-3{)}^2+(-2+4{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ & \sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\Rightarrow AB+AC=BC\end{array}$

النقاط تقع على استقامة واحدة.

(10)- بين نوع المثلث الذي رؤوسه (1-,1-) A (2,-1), B (2,1), C من حيث الأضلاع، وهل المثلث قائم الزاوية؟

$\begin{array}{rl}& d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & AB=\sqrt{(2-2{)}^2+(1-(-1){)}^2}\\ & AB=\sqrt{(0{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{0+(2{)}^2}\\ & AB=\sqrt{4}=2\\ & BC=\sqrt{(-1-2{)}^2+(-1-1{)}^2}\\ & BC=\sqrt{(-3{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ & AC=\sqrt{(-1-2{)}^2+(-1-(-1){)}^2}\\ & AC=\sqrt{(-3{)}^2+(-1+1{)}^2}\\ & AC=\sqrt{(-3{)}^2+(0{)}^2}=\sqrt{9+0}=\sqrt{9}=3\end{array}$

المثلث مختلف الأضلاع.

$\begin{array}{rl}& (BC{)}^2=(AB{)}^2+(AC{)}^2\\ & (\sqrt{13}{)}^2=(2{)}^2+(3{)}^2\\ & 13=4+9\end{array}$

(11)- بين أن النقط الآتية: (4,7-) A (-3,5), B (2,7), C (1,9), D رؤوس متوازي الأضلاع.

i) باستعمال قانون المسافة بين نقطتين.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(2+3{)}^2+(7-5{)}^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ & \mathrm{DC}=\sqrt{(-4-1{)}^2+(7-9{)}^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ & \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\end{array}$

و AD=BC فالشكل متوازي أضلاع.

ii) باستعمال قانون نقطة المنتصف.

$\begin{array}{rl}& M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\ & M_1=(\frac{2+(-4)}{2},\frac{7+7}{2})=(\frac{-2}{2},\frac{14}{2})=(-1,7)\\ & M_2=(\frac{-3+1}{2},\frac{5+9}{2})=(\frac{-2}{2},\frac{14}{2})=(-1,7)\end{array}$

$M_1=M_2$ الشكل ABCD متوازي أضلاع لأن من خواص متوازي الأضلاع قطراه أحدهما ينصف الآخر.

(12)- إذا كانت (2-,4) M منتصف AB وكانت (5,1) B فجد إحداثي النقطة A.

$\begin{array}{rl}& M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\ & (4,-2)=(\frac{x_1+5}{2},\frac{y_1+1}{2})\Rightarrow \frac{x_1+5}{2}=4\Rightarrow x_1=3\\ & \frac{y_1+1}{2}=-2\Rightarrow y_1=-5\end{array}$