جد إحداثيات النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة A B، حيث A (1 ،3) ،B (4 ،6) بنسبة $\frac{1}{2}$ .

$$\begin{gathered} \mathit{X}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{Y}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{X}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{Y}\mathbf{2} \\ \begin{array}{rl}& \frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}}\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{B}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{)}\\ & \mathbf{X}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}}{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{3}\\ & \mathbf{Y}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{6}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{5}\end{array} \\ \mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{التقسيم}\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\mathbf{ }\mathbf{إحداثيات} \end{gathered}$$

تمرينات (2 - 6)

(1)- جد إحداثيات النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة A B، حيث A (1 ،3) ،B (4 ،6) بنسبة $\frac{1}{2}$.

$$\begin{gathered} \mathit{X}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{Y}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{X}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{Y}\mathbf{2} \\ \begin{array}{rl}& \frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}}\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{B}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{)}\\ & \mathbf{X}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}}{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{3}\\ & \mathbf{Y}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{6}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{5}\end{array} \\ \mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{التقسيم}\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\mathbf{ }\mathbf{إحداثيات} \end{gathered}$$

(2)- جد إحداثيات النقطة التي تنصف قطعة المستقيم AB حيث أن A (2 ,-4) ،B (-3 ,-6).

$$\begin{gathered} \mathit{M}\mathit{I}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}}{\mathbf{2}}\mathbf{)} \\ \mathit{M}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{{\displaystyle \mathbf{-}\mathbf{1}}}{{\displaystyle \mathbf{2}}}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{المنتصف}\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\mathbf{ }\mathbf{إحداثيات} \end{gathered}$$

(3)- جد إحداثيات النقطة C التي تقسم قطعة المستقيم AB بنسبة $\frac{3}{5}$ حيث أن A (2 ,1) ،B (1,-3).

$\begin{array}{rl}\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{Y}\mathbf{)}& \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{,}\frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{3}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}}{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{5}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}}{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{5}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{13}}{\mathbf{8}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}}{\mathbf{7}}\mathbf{)}\end{array}$

(4)- جد إحداثيات النقطة C التي تبعد عن A ثلاثة أمثال بعدها عن B حيث A (2 , 6) ،B (4 ,-4).

$\begin{array}{rl}& \frac{{\mathbf{n}}_{\mathbf{1}}}{{\mathbf{n}}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{C}\mathbf{A}}{\mathbf{C}\mathbf{B}}\\ & \mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{Y}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{3}\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}}{\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{6}\mathbf{\right)}}{\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{4}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{,}\mathbf{Y}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\end{array}$

(5)- جد إحداثيات منتصفات أضلاع A B CΔ حيث A (4 ,0) ،B (5 ,2) ،C (2 ,-3) ثم جد أطوال المستقيمات الواصلة بين رؤوس المثلث ومنتصفات الأضلاع المقابلة.

Aَ منتصف $\overline{\mathbf{C}\mathbf{B}}$، َB منتصف $\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}$، َC منتصف $\overline{\mathbf{AB}}$

$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^{\mathbf{\prime }}& \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{{\mathbf{X}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{X}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{{\mathbf{y}}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\\ \mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathbf{\prime }}& \mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{-}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{units}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{B}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{0}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{B}{\mathbf{B}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{+}\frac{\mathbf{49}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{65}}{\mathbf{4}}}\mathbf{\text{units}}\end{array}$

$$\begin{gathered} {\mathit{C}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{0}\mathbf{+}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)} \\ \begin{array}{rl}& \mathbf{C}{\mathbf{C}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{-}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{4}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}\\ & \mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{89}}{\mathbf{4}}\mathbf{\text{units}}}\end{array} \end{gathered}$$

(6)- بين أن قطري الشكل الرباعي الذي رؤوسه (8-, 5-)، (3-, 3-)، (3, 1)، (2-, 1-) ينصف أحدهما الآخر.

نفرض أن نقطة منتصفي القطرين (0)

$\begin{array}{rl}{}^O\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}& \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\overline{\mathbf{A}\mathbf{C}}\mathbf{ }\mathbf{منتصف}\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{}^{\mathbf{O}}\overline{\mathbf{B}\mathbf{D}}& \mathbf{=}\mathbf{(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}\overline{\mathbf{B}\mathbf{D}}\mathbf{ }\mathbf{منتصف}\mathbf{ }\mathbf{نقطة}\\ & \mathbf{القطرين}\mathbf{ }\mathbf{منتصف}\mathbf{ }\mathbf{o}\end{array}$