إذا كانت (2,0-) M منتصف $\overline{\mathrm{AB}}$ وكانت (4,0) A فجد إحداثي النقطة B.

$\begin{array}{rl}& M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\ & (-2,0)=(\frac{4+x}{2},\frac{0+y}{2})\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{4+x}{2}=-2\Rightarrow 4+x=-4\Rightarrow x=-4-4=-8\\ & \frac{0+y}{2}=-2\Rightarrow y=-4\end{array}$

$B(-8,0)$

تأكد من فهمك

(1)- أوجد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي:

(3,8) ,i) (0,0)

$\begin{array}{rl}& d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & d=\sqrt{(3-0{)}^2+(8-0{)}^2}\\ & d=\sqrt{(3{)}^2+(8{)}^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}\end{array}$

(4-,1) , ii) (-3,-1)

$\begin{array}{rl}& d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & d=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-4-(-1){)}^2}\\ & d=\sqrt{(1+3{)}^2+(-4+1{)}^2}\\ & d=\sqrt{(4{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\end{array}$

(4-,3) , iii) (-1,-2)

$\mathrm{d}=\sqrt{(3+1{)}^2+(-4+2{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

(2)- أوجد نقطة المنتصف للأفرع (iii) ,(ii) ,(i) في سؤال 1.

i- $\begin{array}{rl}& M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\ & M=(\frac{0+3}{2},\frac{0+8}{2})\\ & M=(\frac{3}{2},\frac{8}{2})=(\frac{3}{2},4)\end{array}$

ii- $(\frac{-3+1}{2},\frac{-1-4}{2})=(-1,\frac{-5}{2})$

iii- $(\frac{-1+3}{2},\frac{-2-4}{2})=(1,-3)$

(3)- باستعمال قانون المسافة بين نقطتين، أثبت أن النقط (4,5) A (-2,-1), B (-1,0), C على استقامة واحدة.

$\begin{array}{rl}& d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\ & AB=\sqrt{(-1-(-2){)}^2+(0-(-1){)}^2}\\ & AB=\sqrt{(-1+2{)}^2+(1{)}^2}=\sqrt{(1{)}^2+(1{)}^2}\\ & AB=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\ & BC=\sqrt{(4-(-1){)}^2+(5-0{)}^2}\\ & BC=\sqrt{(4+1{)}^2+(5{)}^2}\\ & BC=\sqrt{(5{)}^2+(5{)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\\ & AC=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(5-(-1){)}^2}\\ & AC=\sqrt{(4+2{)}^2+(5+1{)}^2}\\ & AC=\sqrt{(6{)}^2+(6{)}^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}AC& =AB+BC\\ 6\sqrt{2}& =\sqrt{2}+5\sqrt{2}\end{array}$

النقاط A , B , C تقع على استقامة واحدة.

(4)- بين نوع المثلث الذي رؤوسه (2-,1-) A (2,4), B (-4,2), C من حيث الأضلاع، وهل المثلث قائم الزاوية؟

$\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(-4-2{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\\ & \mathrm{AC}=\sqrt{(-1-2{)}^2+(-2-4{)}^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\ & \mathrm{BC}=\sqrt{(-1+4{)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\end{array}$

المثلث مختلف الأضلاع وليس فيه زاوية قائمة.

(5)- بين أن النقط الآتية: (10,6-) A (4,0), B (6,- 6), C (-8,0), D رؤوس متوازي الأضلاع.

i) باستعمال قانون المسافة بين نقطتين.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(6-4{)}^2+(-6-0{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\\ & DC=\sqrt{(-10+8{)}^2+(6-0{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\end{array}$

و AD=BC فالشكل متوازي الأضلاع.

ii) باستعمال قانون نقطة المنتصف.

منتصف القطر BD

$\mathrm{F}=(\frac{6+(-10)}{2},\frac{-6+6}{2})=(-2,0)$

منتصف القطر AC

$F=(\frac{4+(-8)}{2},\frac{0+0}{2})=(-2,0)$

الشكل متوازي الأضلاع.

(6)- إذا كانت (2,0-) M منتصف $\overline{\mathrm{AB}}$ وكانت (4,0) A فجد إحداثي النقطة B.

$\begin{array}{rl}& M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\ & (-2,0)=(\frac{4+x}{2},\frac{0+y}{2})\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{4+x}{2}=-2\Rightarrow 4+x=-4\Rightarrow x=-4-4=-8\\ & \frac{0+y}{2}=-2\Rightarrow y=-4\end{array}$

$B(-8,0)$