برهن أن $\mathrm{ABC}\mathrm{△}$ حيث (3 -,4-) A (-5,-7), B (-8,-2), C قائم الزاوية، ثم حدد الزاوية القائمة.

$\begin{array}{rl}& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ & m_{AB}=\frac{-2-(-7)}{-8-(-5)}=\frac{-2+7}{-8+5}=\frac{5}{-3}\\ & m_{BC}=\frac{-3-(-2)}{-4-(-8)}=\frac{-3+2}{-4+8}=\frac{-1}{4}\\ & m_{AC}=\frac{-3-(-7)}{-4-(-5)}=\frac{-3+7}{-4+5}=\frac{4}{1}=4\\ & m_{BC}\times m_{AC}=\frac{-1}{4}\times 4=-1\end{array}$

$\overleftrightarrow{BC}\perp \overleftrightarrow{AC} , m\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$

تأكد من فهمك

(1)- المستقيم AB يمر بالنقطتين A (-2,4), B (a,6)، عمودي على المستقيم CD الذي يمر بالنقطتين C (3,2), D (2,-7) جد قيمة a.

$\begin{array}{rl}& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ & m_{CD}=\frac{-7-(-6)}{2-6}=\frac{-7+6}{-4}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}\end{array}$

ميل المستقيم AB هو 4- أي مقلوب CD عكس الإشارة لأنه عمودي عليه أي: $m_{AB}=m_{CD}=-4$

$m_{AB}=\frac{6-4}{a-(-2)}$

$\begin{array}{rl}& -4=\frac{2}{a+2}\Rightarrow \frac{-4}{1}=\frac{2}{a+2}\Rightarrow -4a-8=2\Rightarrow -4a=2+8\Rightarrow -4a=10\\ & \frac{-4a}{-4}=\frac{10}{-4}\Rightarrow a=\frac{-5}{2}\end{array}$

(2)- جد قيمة a التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين (6,2) ,(3,2) يساوي $\frac{1-}{4}$.

$\begin{array}{rl}& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\Rightarrow \frac{-1}{4}=\frac{a-2}{6-3}\Rightarrow \frac{-1}{4}=\frac{a-2}{3}\\ & 4a-8=-3\Rightarrow 4a=-3+8\Rightarrow 4a=5\Rightarrow \frac{4a}{4}=\frac{5}{4}\Rightarrow a=\frac{5}{4}\end{array}$

(3)- برهن أن الشكل ABCD متوازي أضلاع حيث: (4 -,0) A (3,0, B (0,4), C (-3,0), D.

نجد الميل بين كل نقطتين أي بين AB, CD, AD, BC

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\begin{array}{rl}& m_{AB}=\frac{4-0}{0-3}=\frac{4}{-3}\\ & m_{CD}=\frac{-4-0}{0-(-3)}=\frac{-4}{3}\end{array}$

$$\begin{gathered} m_{AB}=m_{CD} \\ \overleftrightarrow{AB}//\overleftrightarrow{CD} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} m_{BC}=\frac{0-4}{-3-0}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3} \\ {m}_{AD}=\frac{-4-0}{0-3}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} m_{BC}=m_{AD} \\ \overleftrightarrow{BC}//\overleftrightarrow{AD} \end{gathered}$$

الشكل ABCD متوازي الأضلاع لأن في متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين متوازيين.

(4)- برهن أن $\mathrm{ABC}\mathrm{△}$ حيث (3 -,4-) A (-5,-7), B (-8,-2), C قائم الزاوية، ثم حدد الزاوية القائمة.

$\begin{array}{rl}& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ & m_{AB}=\frac{-2-(-7)}{-8-(-5)}=\frac{-2+7}{-8+5}=\frac{5}{-3}\\ & m_{BC}=\frac{-3-(-2)}{-4-(-8)}=\frac{-3+2}{-4+8}=\frac{-1}{4}\\ & m_{AC}=\frac{-3-(-7)}{-4-(-5)}=\frac{-3+7}{-4+5}=\frac{4}{1}=4\\ & m_{BC}\times m_{AC}=\frac{-1}{4}\times 4=-1\end{array}$

$\overleftrightarrow{BC}\perp \overleftrightarrow{AC} , m\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$

(5)- أثبت أن النقط: (8,5) A (0,-1), B (4,2), C تقع على استقامة واحدة.

$\begin{array}{rl}& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ & m_{AB}=\frac{2-(-1)}{4-0}=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4}\\ & m_{BC}=\frac{5-2}{8-4}=\frac{3}{4}\end{array}$

النقط A, B, C تقع على استقامة واحدة (أي تمثل خط مستقيم).

(6)- جد معادلة المستقيم المار بالنقطة (4,0-) والعمودي على المستقيم المار بالنقطتين (6,0) ,(2-,3).

$\begin{array}{rl}& m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ & m_{{}_{\underset{L_2}{\leftrightarrow }}}=\frac{0-(-2)}{6-3}=\frac{2}{3}\end{array}$

المستقيمان متعامدان، ميل المستقيم $(\overleftrightarrow{L_1}=\frac{-3}{2})$ أي هو مقلوب ميل المستقيم $\overleftrightarrow{L_2}$ عكس الإشارة.

نكتب الآن معادلة المستقيم والنقطة لإيجاد معادلة المستقيم.

$m=\frac{-3}{2} , (-4,0)$

$\begin{array}{rl}& y-y_1=m(x-x_1)\\ & y-0=\frac{-3}{2}(x-(-4\left)\right)\Rightarrow y=\frac{-3}{2}(x+4)\Rightarrow 2y=-3x-12\\ & \frac{2y}{2}=\frac{-3x}{2}-\frac{12}{2}\Rightarrow y=\frac{-3}{2}x-6\end{array}$