حلول الأسئلة

السؤال

جد قيمة: $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

الحل

$\begin{aligned} s i n^{} 120^{\circ} = s i n (180^{\circ} - 60^{\circ}) = s i n^{} 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ c o s^{} 135 = c o s^{} (180^{\circ} - 45^{\circ}) = - c o s^{} 45^{\circ} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ t a n^{} 150^{\circ} = t a n^{} (180^{\circ} - 30^{\circ}) = - t a n^{} 30^{\circ} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمرينات (3 - 4)

(1)-

مثال

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه $\frac{8}{17}$ = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

$\begin{aligned} S i n C = \frac{المقابل}{المجاور} = \frac{8 k}{17 k} \\ (A C)^{2} = (A B)^{2} + (C B)^{2} فيثاغورس \\ (17 k)^{2} = (8 k)^{2} + (C B)^{2} \\ (C B)^{2} = 289 k^{2} - 64 k^{2} = 255 k^{2} \\ C B = 15 k \\ s i n^{} A = \frac{15 k}{17 k} = \frac{15}{17} \\ t a n^{} C = \frac{8 k}{15 k} = \frac{8}{15} \\ c & o s^{} C = \frac{15 k}{17 k} = \frac{15}{17} \end{aligned}$

(2)-

مثال

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin² B + cos² B وباستخدام المعلومات المعطاة.

$\begin{aligned} (A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} فيثاغورس \\ 625 = (A C)^{2} + 576 \\ (A C)^{2} = 49 \Rightarrow A C = \sqrt{49} = 7 cm \\ S i {n^{2}}^{} B + c o {s^{2}}^{} B = {(\frac{7}{25})}^{2} + {(\frac{24}{25})}^{2} \\ = \frac{49}{625} + \frac{576}{625} = \frac{49 + 576}{625} = \frac{625}{625} = 1 \end{aligned}$

(3)- إذا كان $\frac{4}{5}$ = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

$\begin{aligned} c o {s^{2}}^{} Q + s i {n^{2}}^{} Q = 1 \Rightarrow {(\frac{4}{5})}^{2} + s i {n^{2}}^{} Q = 1 \\ s i {n^{2}}^{} Q = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} s i n^{} Q = \frac{3}{5} \\ t a n^{} Q = \frac{s i n^{} Q}{c o s^{} Q} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \end{aligned}$

(4)-

سلم طوله 10 متر مرتكز طرفه الأسفل على أرض أفقية وطرفه الآخر على حائط شاقولي فإذا كانت الزاوية بين السلم والأرض °30 فما بعد طرفه الأعلى عن الأرض وطرفه الأسفل عن الحائط؟ استعمل $(\sqrt{3} = 1.73)$

نفرض بعد الطرف الأعلى عن الأرض = y، نفرض الطرف الأسفل عن الحائط = x

$\begin{aligned} c o s 30 = \frac{x}{10} \frac{المجاور}{الوتر} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10} \end{aligned}$

بعد الطرف الأسفل عن الحائط:

$x = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} m = 5 \times 1 .73 = 8 .65 m$

$s i n^{} 30 = \frac{y}{10} \frac{المقابل}{الوتر}$

بعد الطرف الأعلى عن الأرض:

$\frac{1}{2} = \frac{y}{10} y = \frac{10}{2} = 5 m$

(5)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه ° AB = 20cm ،m< C A B = 60 جد مساحة منطقته.

AC يمثل قاعدة المثلث
BC يمثل ارتفاع المثلث

$\begin{aligned} s i n^{} 60^{\circ} = \frac{B C}{A B} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{B C}{20} \\ B C = 10 \sqrt{3} cm المثلث ارتفاع \end{aligned}$

$\begin{aligned} C o s^{} 60^{\circ} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{A C}{20} \\ A C = 10 C m المثلث قاعدة \end{aligned}$

$المثلث مساحة = \frac{1}{2} \times A C \times B C = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{3} = 50 \sqrt{3} {cm}^{2}$

(6)- جد قيمة:

A) $\frac{3}{4} t a {n^{2}}^{} 30^{\circ} + 2 s i n^{} 60^{\circ} + 3 t a n^{} 45^{\circ} + c o {s^{2}}^{} 30^{\circ} - t a n^{} 60^{\circ}$

$\begin{aligned} = \frac{3}{4} \times {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 3 \times 1 + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - (\sqrt{3}) \\ = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 + \frac{3}{4} - \sqrt{3} \\ = \frac{1}{4} + \sqrt{3} + 3 + \frac{3}{4} - \sqrt{3} = 4 \end{aligned}$

B) $c o {s^{2}}^{} 45^{\circ} s i n^{} 60^{\circ} t a n^{} 60^{\circ} c o {s^{2}}^{} 30^{\circ}$

$\begin{aligned} c o {s^{2}}^{} 45 . S i n^{} 60^{\circ} t a n^{} 60^{\circ} c o {s^{2}}^{} 30^{\circ} \\ = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} \times {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \end{aligned}$

C) $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

(7)-

مثال

في الشكل المجاور:

ABCD شبه منحرف فيه AD=BC (متساوي الساقين)، DC=20cm ،AB=14cm، AD=6cm، جد m<CDA.

ننزل عمود من A على $\vec{D C}$ فيقطعه في نقطة E.

$D E = \frac{20 - 14}{2} = \frac{6}{2} = 3 cm$

في المثلث قائم الزاوية AED:

$\begin{aligned} C o s^{} D = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ < D = 60^{\circ} \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد قيمة: $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

الحل

تمرينات (3 - 4)

(1)-

مثال

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه $\frac{8}{17}$ = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

(2)-

مثال

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin² B + cos² B وباستخدام المعلومات المعطاة.

(3)- إذا كان $\frac{4}{5}$ = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

(4)-

سلم طوله 10 متر مرتكز طرفه الأسفل على أرض أفقية وطرفه الآخر على حائط شاقولي فإذا كانت الزاوية بين السلم والأرض °30 فما بعد طرفه الأعلى عن الأرض وطرفه الأسفل عن الحائط؟ استعمل $(\sqrt{3} = 1.73)$

نفرض بعد الطرف الأعلى عن الأرض = y، نفرض الطرف الأسفل عن الحائط = x

$\begin{aligned} c o s 30 = \frac{x}{10} \frac{المجاور}{الوتر} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10} \end{aligned}$

بعد الطرف الأسفل عن الحائط:

$x = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} m = 5 \times 1 .73 = 8 .65 m$

$s i n^{} 30 = \frac{y}{10} \frac{المقابل}{الوتر}$

بعد الطرف الأعلى عن الأرض:

$\frac{1}{2} = \frac{y}{10} y = \frac{10}{2} = 5 m$

(5)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه ° AB = 20cm ،m< C A B = 60 جد مساحة منطقته.

AC يمثل قاعدة المثلث
BC يمثل ارتفاع المثلث

$\begin{aligned} s i n^{} 60^{\circ} = \frac{B C}{A B} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{B C}{20} \\ B C = 10 \sqrt{3} cm المثلث ارتفاع \end{aligned}$

$\begin{aligned} C o s^{} 60^{\circ} = \frac{A C}{A B} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{A C}{20} \\ A C = 10 C m المثلث قاعدة \end{aligned}$

$المثلث مساحة = \frac{1}{2} \times A C \times B C = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{3} = 50 \sqrt{3} {cm}^{2}$

(6)- جد قيمة:

A) $\frac{3}{4} t a {n^{2}}^{} 30^{\circ} + 2 s i n^{} 60^{\circ} + 3 t a n^{} 45^{\circ} + c o {s^{2}}^{} 30^{\circ} - t a n^{} 60^{\circ}$

B) $c o {s^{2}}^{} 45^{\circ} s i n^{} 60^{\circ} t a n^{} 60^{\circ} c o {s^{2}}^{} 30^{\circ}$

C) $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

(7)-

مثال

في الشكل المجاور:

ABCD شبه منحرف فيه AD=BC (متساوي الساقين)، DC=20cm ،AB=14cm، AD=6cm، جد m<CDA.

ننزل عمود من A على $\vec{D C}$ فيقطعه في نقطة E.

$D E = \frac{20 - 14}{2} = \frac{6}{2} = 3 cm$

في المثلث قائم الزاوية AED:

$\begin{aligned} C o s^{} D = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ < D = 60^{\circ} \end{aligned}$

حلول الأسئلة

جد قيمة: s i n ⁡ 120 ∘ ⋅ c o s ⁡ 135 ∘ , t a n ⁡ 150 ∘

مشاركة الحل

تمرينات (3 - 4)

(1)-

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه 817 = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

(2)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin2 B + cos2 B وباستخدام المعلومات المعطاة.

(3)- إذا كان 45 = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

(4)-

(5)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه ° AB = 20cm ،m< C A B = 60 جد مساحة منطقته.

(6)- جد قيمة:

A) 34tan2⁡30∘+2sin⁡60∘+3tan⁡45∘+cos2⁡30∘−tan⁡60∘

B) cos2⁡45∘sin⁡60∘tan⁡60∘cos2⁡30∘

C)sin⁡120∘⋅cos⁡135∘,tan⁡150∘

(7)-

في الشكل المجاور:

ABCD شبه منحرف فيه AD=BC (متساوي الساقين)، DC=20cm ،AB=14cm، AD=6cm، جد m<CDA.

مشاركة الدرس

جد قيمة: s i n ⁡ 120 ∘ ⋅ c o s ⁡ 135 ∘ , t a n ⁡ 150 ∘

تمرينات (3 - 4)

(1)-

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه 817 = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

(2)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin2 B + cos2 B وباستخدام المعلومات المعطاة.

(3)- إذا كان 45 = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

(4)-

(5)-

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه ° AB = 20cm ،m< C A B = 60 جد مساحة منطقته.

(6)- جد قيمة:

A) 34tan2⁡30∘+2sin⁡60∘+3tan⁡45∘+cos2⁡30∘−tan⁡60∘

B) cos2⁡45∘sin⁡60∘tan⁡60∘cos2⁡30∘

C)sin⁡120∘⋅cos⁡135∘,tan⁡150∘

(7)-

في الشكل المجاور:

ABCD شبه منحرف فيه AD=BC (متساوي الساقين)، DC=20cm ،AB=14cm، AD=6cm، جد m<CDA.

جد قيمة: $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه $\frac{8}{17}$ = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin² B + cos² B وباستخدام المعلومات المعطاة.

(3)- إذا كان $\frac{4}{5}$ = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

A) $\frac{3}{4} t a {n^{2}}^{} 30^{\circ} + 2 s i n^{} 60^{\circ} + 3 t a n^{} 45^{\circ} + c o {s^{2}}^{} 30^{\circ} - t a n^{} 60^{\circ}$

B) $c o {s^{2}}^{} 45^{\circ} s i n^{} 60^{\circ} t a n^{} 60^{\circ} c o {s^{2}}^{} 30^{\circ}$

C) $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

جد قيمة: $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$

ABC مثلث قائم الزاوية في B فيه $\frac{8}{17}$ = sin C جد: cos C ،tan C ،sin A.

ABC مثلث قائم الزاوية في C فيه AB = 25 cm ،BC = 24 cm جد قيمة sin² B + cos² B وباستخدام المعلومات المعطاة.

(3)- إذا كان $\frac{4}{5}$ = cos Q فأوجد sin Q ،tan Q.

A) $\frac{3}{4} t a {n^{2}}^{} 30^{\circ} + 2 s i n^{} 60^{\circ} + 3 t a n^{} 45^{\circ} + c o {s^{2}}^{} 30^{\circ} - t a n^{} 60^{\circ}$

B) $c o {s^{2}}^{} 45^{\circ} s i n^{} 60^{\circ} t a n^{} 60^{\circ} c o {s^{2}}^{} 30^{\circ}$

C) $s i n^{} 120^{\circ} \cdot c o s^{} 135^{\circ}, t a n^{} 150^{\circ}$