ليكن ABCD مستطيلاً رؤوسه (4-,2-) A (-2,6), B (2,6), C (2,-4), D، ارسمه واستخرج مساحته ثم ارسم تمدداً له مركزه نقطة الأصل ومعامله $\frac{1}{2}$ واستخرج مساحته أيضاً.

مساحة المستطيل هي جداء الطول بالعرض. $A=4\times 10=40$

$\begin{array}{rl}& A(-2,6)\Rightarrow A^{\mathrm{\prime }}=(-2\times \frac{1}{2},6\times \frac{1}{2})=(-1,3)\\ & B(2,6)\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}=(2\times \frac{1}{2},6\times \frac{1}{2})=(1,3)\\ & C(2,-4)\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }}=(2\times \frac{1}{2},-4\times \frac{1}{2})=(1,-2)\\ & D(-2,-4)\Rightarrow D^{\mathrm{\prime }}=(-2\times \frac{1}{2},-4\times \frac{1}{2})=(-1,-2)\end{array}$

المساحة بعد التصغير: $A^{\mathrm{\prime }}=2\times 5=10{\mathrm{cm}}^2$

اختبار الفصل

(1)- ليكن ABCD مستطيلاً رؤوسه (4-,2-) A (-2,6), B (2,6), C (2,-4), D، ارسمه واستخرج مساحته ثم ارسم تمدداً له مركزه نقطة الأصل ومعامله $\frac{1}{2}$ واستخرج مساحته أيضاً.

مساحة المستطيل هي جداء الطول بالعرض. $A=4\times 10=40$

$\begin{array}{rl}& A(-2,6)\Rightarrow A^{\mathrm{\prime }}=(-2\times \frac{1}{2},6\times \frac{1}{2})=(-1,3)\\ & B(2,6)\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}=(2\times \frac{1}{2},6\times \frac{1}{2})=(1,3)\\ & C(2,-4)\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }}=(2\times \frac{1}{2},-4\times \frac{1}{2})=(1,-2)\\ & D(-2,-4)\Rightarrow D^{\mathrm{\prime }}=(-2\times \frac{1}{2},-4\times \frac{1}{2})=(-1,-2)\end{array}$

المساحة بعد التصغير: $A^{\mathrm{\prime }}=2\times 5=10{\mathrm{cm}}^2$

(2)- مكعب حجمه 125 cm³، ما طول حرفه؟

$\begin{array}{rl}& V=L\times L\times L\\ & 125=L\times L\times L\\ & L=\sqrt[3]{125}=5\mathrm{cm}\end{array}$

(3)- متوازي سطوح مستطيلة حجمه 96 cm فإذا كانت مساحة قاعدته 12 cm² فما إرتفاعه؟

$\begin{array}{rl}& V=L\times W\times H\\ & 96=12\times H\\ & H=\frac{96}{12}=8\mathrm{cm}\end{array}$

(4)- متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وإرتفاعه 12 cm فإذا كان حجمه 768 cm³ فما طول ضلع قاعدته المربعة.

$\begin{array}{rl}& V=(L\times L)\times H\\ & 768=(L\times L)\times 12\\ & L\times L=\frac{768}{12}=64\\ & L=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}\end{array}$

(5)- جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية لمكعب طول حرفه 7 cm.

$\begin{array}{rl}V& =L\times L\times L=7\times 7\times 7\\ & =343{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

• المساحة الجانبية: $\begin{array}{rl}LA& =4\times L\times L\\ & =4\times 7\times 7\\ & =196{\mathrm{cm}}^2\end{array}$
• المساحة الكلية: $\begin{array}{rl}TA& =6\times L\times L\\ & =6\times 7\times 7\\ & =294{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

(6)- جد الحجم والمساحة الجانبية والمساحة الكلية لمتوازي سطوح مستطيلة أبعاد قاعدته 10cm ،15cm وإرتفاعه 20 cm.

• الحجم: $\begin{array}{rl}V& =L\times W\times H\\ & =15\times 10\times 20=3000{\mathrm{cm}}^3\end{array}$
• المساحة الجانبية: $\begin{array}{rl}LA& =2(L+W)\times H\\ & =2(15+10)\times 20\\ & =1000{\mathrm{cm}}^2\end{array}$
• المساحة الكلية: $\begin{array}{rl}TA& =2(l+W)\times H+2\times L\times W\\ & =2(15+10)\times 20+2\times 15\times 10\\ & =1000+300\\ & =1300{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

(7)- مكعب طول حرفه 4 cm استخرج حجمه الأصلي وحجمه تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره $\frac{2}{3}$.

$V=L\times L\times L=4\times 4\times 4=64{\mathrm{cm}}^3$

الحجم بعد تأثير التمدد:

$\begin{array}{rl}{V}^{\mathrm{\prime }}& =k^{3}y\\ & =\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\times 64\\ & =18.96{\mathrm{cm}}^3\end{array}$

(8)- مكعب طول حرفه 4 cm استخرج مساحته الكلية الأصلية ثم مساحته الكلية تحت تأثير تمدد بمعامل مقداره 4.

المساحة الكلية:

$\begin{array}{rl}TA& =6\times (L\times L)\\ & =6\times 4\times 4\\ & =96\mathrm{cm}\end{array}$

المساحة الكلية تحت تأثير التمدد:

$\begin{array}{rl}(TA{)}^{\mathrm{\prime }}& =K^2\left(TA\right)\\ & =4\times 4\times 96\\ (TA{)}^{\mathrm{\prime }}& =1536{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

(9)- إذا علمت أن المساحة الكلية لمتوازي سطوح مستطيلة تساوي 17 cm² وإن المساحة الكلية له تحت تأثير تمدد تكبير يساوي 153 cm² احسب مقدار معامل التمدد.

$\begin{array}{rl}& (TA{)}^{\mathrm{\prime }}=K^2(TA)\\ & 153=K^2\times 17\\ & K^2=\frac{153}{17}=9\Rightarrow K=3\end{array}$

(10)- هل يمكن رصف قطعة أرض ببلاطات على شكل مثمن منتظم؟ وضح ذلك.

قياس كل زاوية من المثمن:

$\begin{array}{rl}& \theta =\frac{(n-2)\times {180}^{\circ }}{n}n=8\\ & \theta =\frac{(8-2{)}^n\times {180}^{\circ }}{8}\to \theta =\frac{6\times {180}^{\circ }}{8}\\ & \theta =\frac{1080}{8}={135}^{\circ }\end{array}$

لا يمكن الرصف لأن الناتج الكسر عدد غير صحيح $\frac{360}{135}$ أي يبقى فراغات بين البلاطات.

(11)- مجسم مركب مؤلف من 8 مكعبات متماثلة طول حرف كل منها 10 cm، و4 من متوازيات السطوح المستطيلة المتماثلة أبعاد كل منها 4cm, 6cm, 2cm. احسب الحجم الكلي للمجسم.

حجم المكعبات:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}V& =8(l\times l\times l)\\ & =8\times (10\times 10\times 10)=8000{\mathrm{cm}}^3\end{array} \\ \begin{array}{rl}V& =4\times (L\times W\times H)\\ & =4\times (6\times 4\times 2)=192{\mathrm{cm}}^3\end{array} \end{gathered}$$

الحجم الكلي: $v=8000+192=8192{\mathrm{cm}}^3$

(12)- يريد عبد الله رصف ممر مربع الشكل طول ضلعه 9 m ببلاط مربع مساحة البلاطة الواحدة 0.25 m²، احسب عدد البلاطات اللازمة لإنجاز عملية الرصف.

• مساحة الممرات: $A=9\times 9=81{\mathrm{m}}^2$
• عدد البلاطات: $81÷0.25=324$