للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمرينات (4 - 2)

(1)-

إذا كان $\begin{aligned} A = [- 2, 5) \end{aligned}$

$\begin{aligned} B = {X : X \geq 1} \end{aligned}$

جد $A \cup B, A \cap B, A - B \cdot B - A$

خط بياني

$\begin{aligned} A \cup B & = {x : x \geq - 2}, A \cap B = [1, 5) \\ A - B & = [- 2, 1), B - A = {x : x \geq 5} \end{aligned}$

(2)-

أ) ارسم الدالة $Y = | X + 2 | - 5$

نقاط الدالة

$y = | x + 2 | - 5 = {\begin{cases} x + 2 - 5 & \forall x \geq - 2 \\ - (x + 2) - 5 & \forall x < - 2 \end{cases}}$

$y = {\begin{cases} x - 3 & \forall x \geq - 2 \dots \dots . . . L_{1} \\ - x - 7 & \forall x < - 2 \dots \dots . . L_{2} \end{cases}}$

رسم بياني للدالة

ب) $y = 3 - | x + 1 |$

مثال

أما: $x \geq - 1$

$\begin{array}{r} y = 3 - (x + 1) \\ y = 3 - x - 1 \\ y = 2 - x \end{array}$

(3)-

أ) $| 4 X + 3 | = 1$

$| 4 x + 3 | = {\begin{cases} 4 x + 3 = 1 & \forall x \geq \frac{- 3}{4} \\ - (4 x + 3) = 1 & \forall x < \frac{- 3}{4} \end{cases}}$

هذه المعادلة تكافئ النظام:

$= {\begin{cases} 4 x + 3 = 1 & \forall x \geq \frac{- 3}{4} \\ 4 x + 3 = - 1 & \forall x < \frac{- 3}{4} \end{cases}}$

$= {\begin{cases} x = \frac{- 2}{4} = \frac{- 1}{2} \in التعويض لمجموعة \\ x = - 1 \in التعويض لمجموعة \end{cases}}$

$S = S_{1} \cup S_{2} = {- \frac{1}{2}, - 1}$

التحقيق: $\begin{aligned} | 4 (\frac{- 1}{2}) + 3 | & = | - 2 + 3 | \\ = | 1 | \\ = 1 \in R \end{aligned}$

$و أ | 4 (- 1) + 3 | = | - 4 + 3 | = | - 1 | = 1 \in R$

قيمة X تحقق الحل.

ويمكن حلها بطريقة أخرى كما وردت في الأمثلة.

ب) $X | X | + 4 = 0$

$x | x | + 4 = {\begin{cases} x \cdot x + 4 = 0 & \forall x \geq 0 \\ x (- x) + 11 = 0 & \forall x < 0 \end{cases}}$

$\begin{aligned} = {\begin{matrix} x^{2} + 4 = 0 ممكنغيريهمل \\ - x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \end{matrix}} \\ x = \pm 2 \Rightarrow x = - 2 \in التعويض لمجموعة \\ x = 2 تحقق لا \\ S = {- 2} \end{aligned}$

التحقيق:

$\begin{aligned} 2 | - 2 | + 4 & = 2 (2) + 4 - \\ = - 4 + 4 = 0 \\ تحقق X قيمة \end{aligned}$

ج) $X^{2} - 2 | X | - 15 = 0$

$\begin{aligned} x^{2} - 2 | x | - 15 {\begin{cases} x^{2} - 2 x - 15 = 0 & \forall x \geq 0 \\ x^{2} + 2 x - 15 = 0 & \forall x < 0 \end{cases}} \\ = {\begin{cases} (x - 5) (x + 3) = 0 & \forall x \geq 0 \\ (x + 5) (x - 3) = 0 & \forall x < 0 \end{cases}} \\ = \{\begin{matrix} x = 5 or x = - 3 تحقق لا x \geq 0 \\ x = - 5 or x = 3 تحقق لا x < 0 \end{matrix}\} \\ S = {5, - 5} \end{aligned}$

التحقيق:

$\begin{aligned} (5)^{2} - 2 | 5 | - 15 & = \\ 25 - 10 - 15 & = 0 \\ (- 5)^{2} - 2 | - 5 | - 15 & = \\ 25 - 10 - 15 & = 0 \\ تحقق X قيمة \end{aligned}$

د) $| X^{2} + 4 | = 29$

يمكن بطريقة مباشرة بالشكل:

$\begin{array}{ll} either & x^{2} + 4 = 29 \Rightarrow x^{2} = 25 \\ x = \pm 5 \\ or & x^{2} + 4 = - 29 \Rightarrow x^{2} = - 33 ممكن غير \\ S = {- 5, 5} \end{array}$

التحقيق:

يترك للطالب.

ه) $x | x + 2 | = 3$

أما: $\begin{array}{r} x (x + 2) = 3 \\ x^{2} + 2 x - 3 = 0 \\ (x + 3) (x - 1) = 0 \end{array}$
لا يحقق $\begin{aligned} أما & x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3 \\ أو & x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{aligned}$
أو: $\begin{array}{r} x [- (x + 2)] = 3 \\ - x (x + 2) = 3 \\ x (x + 2) = - 3 \\ x^{2} + 2 x + 3 = 0 \end{array}$
ليس للمعادلة حل في R.
لأن المقدار المميز (b2 - 4ac) سالب.
S = {1}

و) $| 2 x + 1 | = x$

أما: $\begin{array}{r} 2 x + 1 = x \\ 2 x - x = - 1 \\ x = - 1 تحقق لا \end{array}$
إذا عوضنا قيمة X في المعادلة.
الطرف الأيمن $\neq$ الطرف الأيسر.
أو: $\begin{array}{r} 2 x + 1 = - x \\ 2 x + x = - 1 \\ 3 x = - 1 \\ x = \frac{1}{3} تحقق لا \end{array}$
إذا عوضنا قيمة X في المعادلة.
الطرف الأيمن $\neq$ الطرف الأيسر.
$S = \emptyset$

(4)- جد مجموعة حل المعادلتين الآتيتين:

أ) $2 X + Y = 4, X - Y = - 1$ (بيانياً):

مثال

الرسم البياني للمعادلات

نقطة التقاطع (2 ,1).

ب) $4 X + 3 Y = 17, 2 X + 3 Y = 13$ (تحليلياً):

تحل بطريقة الحذف.

$\begin{aligned} 4 x + 3 y = 17 . . . . . . . (1) \\ 2 x + 3 y = 13 . . . . . . . (2) \end{aligned}$

بطرح المعادلة (1) من المعادلة (2) نحصل على:

$\begin{aligned} 2 x = 4 \Rightarrow x = 2 (1) المعادلة في نعوض \\ 4 (2) + 3 y = 17 \Rightarrow 3 y = 9 \Rightarrow y = 3 \\ S = {(2, 3)} \end{aligned}$

ج) $X - Y = 1, 5 X^{2} + 2 Y^{2} = 53$

تحل بطريقة التعويض.

$\begin{aligned} x - y = 1 . . . . . . (1) \\ 5 x^{2} + 2 y^{2} = 53 . . . . . . (2) \end{aligned}$

من المعادلة (1) نحصل على x = 1 + y ثم نعوض في المعادلة (2):

$\begin{aligned} 5 (1 + y)^{2} + 2 y^{2} = 53 \Rightarrow 5 (1 + 2 y + y^{2}) + 2 y^{2} = 53 \Rightarrow 5 + 10 y + 5 y^{2} + 2 y^{2} - 53 = 0 \\ 7 y^{2} + 10 y - 48 = 0 \Rightarrow (7 y + 24) (y - 2) = 0 \\ 7 y + 24 = 0 \Rightarrow 7 y = - 24 \Rightarrow y = \frac{- 24}{7} \Rightarrow x = 1 - \frac{24}{7} \Rightarrow x = \frac{- 17}{7} \Rightarrow (\frac{- 17}{7}, \frac{- 24}{7}) \\ or : \\ y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 1 + 2 = 3 \Rightarrow (3, 2) \\ S = {(\frac{- 17}{7}, \frac{- 24}{7}), (3, 2)} \end{aligned}$

د) $2 X^{2} - Y^{2} = 34, 3 X^{2} + 2 Y^{2} = 107$

تحل بطريقة الحذف.

$\begin{aligned} 2 x^{2} - y^{2} = 34 . . . . . . . . (1) \\ 3 x^{2} + 2 y^{2} = 107 . . . . . . . . (2) \end{aligned}$

بضرب المعادلة الأولى ب2 نحصل على:

$\begin{aligned} 4 x^{2} - 2 y^{2} = 68 \\ 3 x^{2} + 2 y^{2} = 107 بالجمع \\ 7 x^{2} = 175 \Rightarrow x^{2} = \frac{175}{7} \Rightarrow x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5 \\ x = 5 \Rightarrow 2 (5)^{2} - y^{2} = 34 \Rightarrow - y^{2} = 34 - 50 \Rightarrow - y^{2} = - 16 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (5, 4) (5, - 4) \\ or \\ x = - 5 \Rightarrow 2 (- 5)^{2} - y^{2} = 34 \Rightarrow - y^{2} = 34 - 50 \Rightarrow - y^{2} = - 16 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4 \Rightarrow (- 5, 4) (- 5, - 4) \\ S = {(5, 4) (5, - 4), (- 5, 4) (- 5, - 4)} \end{aligned}$

(5)-

جد مجموعة حلول كل من المتباينات الآتية:

أ) $| X - 6 | \leq 1$

$\begin{matrix} | x - 6 | \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x - 6 \leq 1 \\ - 1 + 6 \leq x - 6 + 6 \leq 1 + 6 \\ 5 \leq x \leq 7 \\ S = [5, 7] \end{matrix}$

ب) $2 \leq | X + 1 | \leq 4$

$\begin{array}{ccr} 2 \leq - (x + 1) \leq 4 & و أ & 2 \leq x + 1 \leq 4 \\ - 2 \geq x + 1 \geq - 4 & و أ & 2 - 1 \leq x \leq 4 - 1 \\ - 3 \geq x \geq - 5 & و أ & 1 \leq x \leq 3 \\ S_{2} = [- 5 ، - 3] & S_{1} = [1, 3] \\ S = S_{1} \cup S_{2} \\ S = [- 5 ، - 3] \cup [1, 3] \end{array}$

ج) $- 9 < | 2 X - 3 | - 12 \leq - 3$

أما: $\begin{array}{r} - 9 < - (2 x - 3) - 12 \leq - 3 \\ - 9 < - 2 x + 3 - 12 \leq - 3 \\ - 9 < - 2 x - 9 \leq - 3 \\ 0 < - 2 x \leq 6 \\ 3 > x \geq 0 \\ S_{1} = [0, 3) \end{array}$ أو $\begin{array}{r} - 9 < (2 x - 3) - 12 \leq - 3 \\ - 9 < 2 x - 15 \leq - 3 \\ 15 - 9 < 2 x \leq - 3 + 15 \\ 6 < 2 x \leq 12 \\ 3 < x \leq 6 \end{array}$

$\begin{aligned} S_{2} = (3, 6] S_{1} = [0, 3) \\ S = S_{1} \cup S_{2} \\ = (0, 3] \cup (3, 6] \end{aligned}$

د) $2 X^{2} \leq 8$

$\begin{aligned} 2 x^{2} \leq 8 \Rightarrow x^{2} \leq 4 \\ S & = [[- 2, 2] \end{aligned}$

ه) $3 X^{2} - 27 > 0$

$\begin{aligned} 3 x^{2} > 27 \\ x^{2} > 9 \\ S = R / [- 3, 3] \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمرينات (4 - 2)

(1)-

إذا كان $\begin{aligned} A = [- 2, 5) \end{aligned}$

$\begin{aligned} B = {X : X \geq 1} \end{aligned}$

جد $A \cup B, A \cap B, A - B \cdot B - A$

(2)-

أ) ارسم الدالة $Y = | X + 2 | - 5$

ب) $y = 3 - | x + 1 |$

(3)-

أ) $| 4 X + 3 | = 1$

ب) $X | X | + 4 = 0$

التحقيق:

ج) $X^{2} - 2 | X | - 15 = 0$

التحقيق:

د) $| X^{2} + 4 | = 29$

يمكن بطريقة مباشرة بالشكل:

التحقيق:

ه) $x | x + 2 | = 3$

و) $| 2 x + 1 | = x$

(4)- جد مجموعة حل المعادلتين الآتيتين:

أ) $2 X + Y = 4, X - Y = - 1$ (بيانياً):

ب) $4 X + 3 Y = 17, 2 X + 3 Y = 13$ (تحليلياً):

ج) $X - Y = 1, 5 X^{2} + 2 Y^{2} = 53$

د) $2 X^{2} - Y^{2} = 34, 3 X^{2} + 2 Y^{2} = 107$

(5)-

جد مجموعة حلول كل من المتباينات الآتية:

أ) $| X - 6 | \leq 1$

ب) $2 \leq | X + 1 | \leq 4$

ج) $- 9 < | 2 X - 3 | - 12 \leq - 3$

د) $2 X^{2} \leq 8$

ه) $3 X^{2} - 27 > 0$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمرينات (4 - 2)

(1)-

إذا كان A=[−2,5)

B={X:X≥1}

جدA∪B,A∩B,A−B⋅B−A

(2)-

أ) ارسم الدالة Y=|X+2|−5

ب) y=3−|x+1|

(3)-

أ) |4X+3|=1

ب) X|X|+4=0

التحقيق:

ج) X2−2|X|−15=0

التحقيق:

د) |X2+4|=29

يمكن بطريقة مباشرة بالشكل:

التحقيق:

ه) x|x+2|=3

و) |2x+1|=x

(4)- جد مجموعة حل المعادلتين الآتيتين:

أ) 2X+Y=4, X−Y=−1 (بيانياً):

ب) 4X+3Y=17, 2X+3Y=13 (تحليلياً):

ج) X−Y=1, 5X2+2Y2=53

د) 2X2−Y2=34, 3X2+2Y2=107

(5)-

جد مجموعة حلول كل من المتباينات الآتية:

أ) |X−6|≤1

ب) 2≤|X+1|≤4

ج) −9<|2X−3|−12≤−3

د) 2X2≤8

ه) 3X2−27>0

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

إذا كان $\begin{aligned} A = [- 2, 5) \end{aligned}$

$\begin{aligned} B = {X : X \geq 1} \end{aligned}$

جد $A \cup B, A \cap B, A - B \cdot B - A$

أ) ارسم الدالة $Y = | X + 2 | - 5$

ب) $y = 3 - | x + 1 |$

أ) $| 4 X + 3 | = 1$

ب) $X | X | + 4 = 0$

ج) $X^{2} - 2 | X | - 15 = 0$

د) $| X^{2} + 4 | = 29$

ه) $x | x + 2 | = 3$

و) $| 2 x + 1 | = x$

أ) $2 X + Y = 4, X - Y = - 1$ (بيانياً):

ب) $4 X + 3 Y = 17, 2 X + 3 Y = 13$ (تحليلياً):

ج) $X - Y = 1, 5 X^{2} + 2 Y^{2} = 53$

د) $2 X^{2} - Y^{2} = 34, 3 X^{2} + 2 Y^{2} = 107$

أ) $| X - 6 | \leq 1$

ب) $2 \leq | X + 1 | \leq 4$

ج) $- 9 < | 2 X - 3 | - 12 \leq - 3$

د) $2 X^{2} \leq 8$

ه) $3 X^{2} - 27 > 0$