حلول الأسئلة

السؤال

بدأت سيارة الحركة من السكون وكان قطر كل عجلة من عجلاتها (80 cm) وتسارعت بانتظام فبلغت سرعتها (20m / s) خلال (25s) فما:

a. التعجيل الزاوي لكل عجلة؟

b. عدد الدورات التي تدورها كل عجلة خلال تلك الفترة؟

الحل

a)  ω 2 = V r = 20 0.4 = 50 rad / sec ω 2 = ω 1 + α t α = ω 2 ω 1 = 50 0 25 = 2 rad / s 2

ω 1 = 2 π × الدورات   عدد   r

50 = 2 π × الدورات   عدد   25

عدد الدورات 1250 2 π =

625 π = 625 22 7 = 7 × 625 22

= 99.43 عدد الدورات.

طريقة أخرى:

θ = ω 1 t + 1 2 α t 2 θ = 0 + 1 2 × 2 × 25 2 θ = 625 rad / s

= 625 π = 625 22 7 = 7 × 625 22 عدد الدورات.

= 99.43 عدد الدورات.

مشاركة الحل

أسئلة الفصل السادس

اسئلة القصل السادس

س 1. اختر العبارة الصحيحة من العبارات التالية:

1. إذا دار قرص حول محوره بزخم زاوي منتظم فإن مقدار إحدى الكميات الآتية لا تساوي صفراً:

  • التعجيل الزاوي للقرص.
  • الشغل الدوراني للقرص.
  • السرعة الزاوية للقرص.
  • محصلة العزوم الخارجية المؤثرة في القرص.

لأن القرص دار حول محوره بزخم زاوي منتظم.

2. يقف تلميذ عند حافة منصة دائرية تدور بمستوى أفقي حول محور شاقولي ماراً بمركزها فإذا اقترب التلميذ ببطيء نحو مركز المنصة (من غير تأثير عزم خارجي) فإن مقدار الزخم الزاوي للتلميذ:

  • يزداد.
  • يبقى ثابتاً.
  • يقل.
  • يساوي الزخم الزاوي للمنصة.

عند اقتراب الجسم نحو مركز المنصة نصف قطر الدوران يقل وبما أنه لا يوجد تأثير لعزم خارجي، فإن السرعة تزداد ويبقى الزخم ثابتاً عند دوران الجسم.

3. إن (Joule. second) هي وحدات:

  • قدرة.
  • عزم مدور.
  • تعجيل زاوي.
  • زخم الزاوي.

L=r×PL=I×ω=rmV=mKgmsL=mKgms2s=mNs=J.s

4. إن المعدل الزمني لتغير الزخم الزاوي يمثل:

  • عزم مدور.
  • شغل دوراني.
  • قوة.
  • إزاحة زاوية.

T=IαT=I(ω1ω2t)T==Iω2tIω1tT=L2L1tT=T×tt=T

5. قطار يدور على سكة دائرية بمستوى أفقي بانطلاق ثابت فإن الذي يتغير لعجلات القطار هو:

  • زخمها الزاوي.
  • عزم قصورها الذاتي.
  • مقدار سرعتها الزاوية.
  • طاقتها الحركية الدورانية.

عزم القصور الذاتي لا يتغير لأن I=mr2 وهو كمية غير اتجاهيه ولا تتغير الكتلة ولا نصف القطر، مقدار السرعة الزاوية ثابتة لأن الانطلاق ثابت، وكذلك الطاقة الحركية الدورانية ثابتة لأنها كمية مقدارية غير اتجاهيه والزخم يكون كمية اتجاهيه L=r×P لأن الذي يتغير اتجاه السرعة وليس مقدارها.

س2. علل ما يلي:

1. التوازن على الدراجة المتحركة أسهل من التوازن على دراجة واقفة.

الدراجة المتحركة يعني لها سرعة وبذلك فإنها تمتلك استمرارية دورانية أي كبر عزم قصورها الذاتي I=mr2 لذلك فإنها تمتلك زخم زاوي كبير L=Iw أثناء دورانها فتتمكن العجلة من التغلب على العزوم الخارجية (وزن الدراجة ووزن الراكب) المؤثرة فيها لذا تحافظ الدراجة على الدوران وبسرعة زاوية ثابتة الاتجاه تقريباً.

2. يمكن لجسم أن يمتلك زخماً زاورياً على الرغم من أن الدفع الزاوي المؤثر فيه يساوي صفراً؟

لأنه عندما تكون السرعة الزاوية ثابتة فالتغير بالزخم الزاوي يساوي صفراً (التغير بالزخم الزاوي = عزم القصور الذاتي × التغير بالسرعة الزاوية).

ΔL=IΔω

3. يمد الشخص ذراعاه (أو يحمل بيده ساقاً أفقية) عندما يمشي على حبل أفقي مشدود.

لكي يزداد عزم القصور الذاتي (I = mr2) أي يحافظ على حالته الحركية.

1. بدأت سيارة الحركة من السكون وكان قطر كل عجلة من عجلاتها (80 cm) وتسارعت بانتظام فبلغت سرعتها (20m / s) خلال (25s) فما:

a. التعجيل الزاوي لكل عجلة؟

ω2=Vr=200.4=50rad/secω2=ω1+αtα=ω2ω1=50025=2rad/s2

b. عدد الدورات التي تدورها كل عجلة خلال تلك الفترة؟

ω1=2π×الدورات عدد r

50=2π×الدورات عدد 25

عدد الدورات12502π=

625π=625227=7×62522

=99.43عدد الدورات.

طريقة أخرى:

θ=ω1t+12αt2θ=0+12×2×252θ=625rad/s

=625π=625227=7×62522عدد الدورات.

=99.43عدد الدورات.

2 عجلة تدور بسرعة زاوية منتظمة أثر فيها عزم مضاد فتوقفت عن الدوران بعد أن دارت (50rev) خلال (10s) ما مقدار:

a. سرعتها الزاوية الابتدائية؟

θ=(2π)( nu. rev )θ=2π×50=100πradθ=ω1+ωf2×t100π=ωi+02×10ω1=20πrad/sω1=20×3.14=62.8rad/s

b. التعجيل الزاوي؟

α=ω2ω1t=062.810=6.28rad/s2

3. قرص نصف قطره (0.6m) وكتلته (80 kg) يدور بسرعة 3600rev / min، فما مقدار العزم المؤثر في القرص لإيقافه عن الدوران خلال 20s؟

لدينا للقرص ما بلي:

I=12mr2I=12×80×(0.6)2=40×0.36=14.4Kgm2T=Iαα=ω2ω1t

ω1=2π×الدورات عدد t=2π×360060=120πrad/s

α=0120π20=6πrad/s2T=14.4×(6π)=14.4×(6×3.14)=271.296N.m

4. عجلة قطرها 0.72m وعزم قصورها الذاتي (4.8kg.m2) أثرت في حافتها قوة مماسية مقداره (10 N) فبدأت الحركة من السكون:

ما التعجيل الزاوي؟

معدل القدرة الدورانية الناتجة عن الشغل الزاوي المبذول خلال (4s)؟

τ=F×r=Iα10×0.36=4.8×αα=10×0.364.8=34=0.75rad/s2P=Wt=τ×θtθ=ωit+12αt2=0+12×0.75×(4)2=12×0.75×16=6radP=WRot t=τ×θt=F×r×θt=3.6×6A=5.4Watt

5. قرص عزم قصوره الذاتي (1kg.m2) كان يدور بسرعة زاوية منظمة أثر فيه عزم مماسي مضاد فأوقفه عن الدوران بتعجيل زاوي منتظم بعد (4s) فكان الشغل الدوراني المبذول (200J) فما مقدار العزم المؤثر المضاد؟

الشغل الدوراني = التغير في الطاقة الحركية.

W=12Iω22ω12200=12I0ω12400=ωi2ω1=20rad/sα=ω2ω1t=0204=5rad/s2=Iα→=1×5=5Nm

6. كرة صلدة كتلتها (0.5kg) ونصف قطرها (0.2m) تدحرجت من السكون من قمة سطح مائل خشن ارتفاعه الشاقولي (7m) بدحرجة صرف ما مقدار طاقته الحركية الكلية في أسفل السطح المائل علماً بأن عزم القصور الذاتي للكرة الصلدة I=2/5mr2.

I=25mr2=0.4×0.5×(0.2)2I=0.4×0.5×0.04=8×103Kgm2mgh=(KE)total mgh=KETf+KERotfmgh=12mv2+12Iω2mgh=12mv2+1212mr2v2r2v=107gh=107×10×7=100v=10m/sω=vr=100.2=50rad/sv=107gh=107×10×7=100v=10m/sω=vr=100.2=50rad/sKETt=mv2=12×0.5×102KETf=25JKERot f=12Iω2=12×0.008×(50)2(KE)total =KETf+KERot f=25J+10J(KE)total=35J

التحقق:

PEg=(KE)total (KE)total =mgh=0.5Kg×10NKg×7m=35N.m(KE)total =35J

مشاركة الدرس

السؤال

بدأت سيارة الحركة من السكون وكان قطر كل عجلة من عجلاتها (80 cm) وتسارعت بانتظام فبلغت سرعتها (20m / s) خلال (25s) فما:

a. التعجيل الزاوي لكل عجلة؟

b. عدد الدورات التي تدورها كل عجلة خلال تلك الفترة؟

الحل

a)  ω 2 = V r = 20 0.4 = 50 rad / sec ω 2 = ω 1 + α t α = ω 2 ω 1 = 50 0 25 = 2 rad / s 2

ω 1 = 2 π × الدورات   عدد   r

50 = 2 π × الدورات   عدد   25

عدد الدورات 1250 2 π =

625 π = 625 22 7 = 7 × 625 22

= 99.43 عدد الدورات.

طريقة أخرى:

θ = ω 1 t + 1 2 α t 2 θ = 0 + 1 2 × 2 × 25 2 θ = 625 rad / s

= 625 π = 625 22 7 = 7 × 625 22 عدد الدورات.

= 99.43 عدد الدورات.

أسئلة الفصل السادس

اسئلة القصل السادس

س 1. اختر العبارة الصحيحة من العبارات التالية:

1. إذا دار قرص حول محوره بزخم زاوي منتظم فإن مقدار إحدى الكميات الآتية لا تساوي صفراً:

  • التعجيل الزاوي للقرص.
  • الشغل الدوراني للقرص.
  • السرعة الزاوية للقرص.
  • محصلة العزوم الخارجية المؤثرة في القرص.

لأن القرص دار حول محوره بزخم زاوي منتظم.

2. يقف تلميذ عند حافة منصة دائرية تدور بمستوى أفقي حول محور شاقولي ماراً بمركزها فإذا اقترب التلميذ ببطيء نحو مركز المنصة (من غير تأثير عزم خارجي) فإن مقدار الزخم الزاوي للتلميذ:

  • يزداد.
  • يبقى ثابتاً.
  • يقل.
  • يساوي الزخم الزاوي للمنصة.

عند اقتراب الجسم نحو مركز المنصة نصف قطر الدوران يقل وبما أنه لا يوجد تأثير لعزم خارجي، فإن السرعة تزداد ويبقى الزخم ثابتاً عند دوران الجسم.

3. إن (Joule. second) هي وحدات:

  • قدرة.
  • عزم مدور.
  • تعجيل زاوي.
  • زخم الزاوي.

L=r×PL=I×ω=rmV=mKgmsL=mKgms2s=mNs=J.s

4. إن المعدل الزمني لتغير الزخم الزاوي يمثل:

  • عزم مدور.
  • شغل دوراني.
  • قوة.
  • إزاحة زاوية.

T=IαT=I(ω1ω2t)T==Iω2tIω1tT=L2L1tT=T×tt=T

5. قطار يدور على سكة دائرية بمستوى أفقي بانطلاق ثابت فإن الذي يتغير لعجلات القطار هو:

  • زخمها الزاوي.
  • عزم قصورها الذاتي.
  • مقدار سرعتها الزاوية.
  • طاقتها الحركية الدورانية.

عزم القصور الذاتي لا يتغير لأن I=mr2 وهو كمية غير اتجاهيه ولا تتغير الكتلة ولا نصف القطر، مقدار السرعة الزاوية ثابتة لأن الانطلاق ثابت، وكذلك الطاقة الحركية الدورانية ثابتة لأنها كمية مقدارية غير اتجاهيه والزخم يكون كمية اتجاهيه L=r×P لأن الذي يتغير اتجاه السرعة وليس مقدارها.

س2. علل ما يلي:

1. التوازن على الدراجة المتحركة أسهل من التوازن على دراجة واقفة.

الدراجة المتحركة يعني لها سرعة وبذلك فإنها تمتلك استمرارية دورانية أي كبر عزم قصورها الذاتي I=mr2 لذلك فإنها تمتلك زخم زاوي كبير L=Iw أثناء دورانها فتتمكن العجلة من التغلب على العزوم الخارجية (وزن الدراجة ووزن الراكب) المؤثرة فيها لذا تحافظ الدراجة على الدوران وبسرعة زاوية ثابتة الاتجاه تقريباً.

2. يمكن لجسم أن يمتلك زخماً زاورياً على الرغم من أن الدفع الزاوي المؤثر فيه يساوي صفراً؟

لأنه عندما تكون السرعة الزاوية ثابتة فالتغير بالزخم الزاوي يساوي صفراً (التغير بالزخم الزاوي = عزم القصور الذاتي × التغير بالسرعة الزاوية).

ΔL=IΔω

3. يمد الشخص ذراعاه (أو يحمل بيده ساقاً أفقية) عندما يمشي على حبل أفقي مشدود.

لكي يزداد عزم القصور الذاتي (I = mr2) أي يحافظ على حالته الحركية.

1. بدأت سيارة الحركة من السكون وكان قطر كل عجلة من عجلاتها (80 cm) وتسارعت بانتظام فبلغت سرعتها (20m / s) خلال (25s) فما:

a. التعجيل الزاوي لكل عجلة؟

ω2=Vr=200.4=50rad/secω2=ω1+αtα=ω2ω1=50025=2rad/s2

b. عدد الدورات التي تدورها كل عجلة خلال تلك الفترة؟

ω1=2π×الدورات عدد r

50=2π×الدورات عدد 25

عدد الدورات12502π=

625π=625227=7×62522

=99.43عدد الدورات.

طريقة أخرى:

θ=ω1t+12αt2θ=0+12×2×252θ=625rad/s

=625π=625227=7×62522عدد الدورات.

=99.43عدد الدورات.

2 عجلة تدور بسرعة زاوية منتظمة أثر فيها عزم مضاد فتوقفت عن الدوران بعد أن دارت (50rev) خلال (10s) ما مقدار:

a. سرعتها الزاوية الابتدائية؟

θ=(2π)( nu. rev )θ=2π×50=100πradθ=ω1+ωf2×t100π=ωi+02×10ω1=20πrad/sω1=20×3.14=62.8rad/s

b. التعجيل الزاوي؟

α=ω2ω1t=062.810=6.28rad/s2

3. قرص نصف قطره (0.6m) وكتلته (80 kg) يدور بسرعة 3600rev / min، فما مقدار العزم المؤثر في القرص لإيقافه عن الدوران خلال 20s؟

لدينا للقرص ما بلي:

I=12mr2I=12×80×(0.6)2=40×0.36=14.4Kgm2T=Iαα=ω2ω1t

ω1=2π×الدورات عدد t=2π×360060=120πrad/s

α=0120π20=6πrad/s2T=14.4×(6π)=14.4×(6×3.14)=271.296N.m

4. عجلة قطرها 0.72m وعزم قصورها الذاتي (4.8kg.m2) أثرت في حافتها قوة مماسية مقداره (10 N) فبدأت الحركة من السكون:

ما التعجيل الزاوي؟

معدل القدرة الدورانية الناتجة عن الشغل الزاوي المبذول خلال (4s)؟

τ=F×r=Iα10×0.36=4.8×αα=10×0.364.8=34=0.75rad/s2P=Wt=τ×θtθ=ωit+12αt2=0+12×0.75×(4)2=12×0.75×16=6radP=WRot t=τ×θt=F×r×θt=3.6×6A=5.4Watt

5. قرص عزم قصوره الذاتي (1kg.m2) كان يدور بسرعة زاوية منظمة أثر فيه عزم مماسي مضاد فأوقفه عن الدوران بتعجيل زاوي منتظم بعد (4s) فكان الشغل الدوراني المبذول (200J) فما مقدار العزم المؤثر المضاد؟

الشغل الدوراني = التغير في الطاقة الحركية.

W=12Iω22ω12200=12I0ω12400=ωi2ω1=20rad/sα=ω2ω1t=0204=5rad/s2=Iα→=1×5=5Nm

6. كرة صلدة كتلتها (0.5kg) ونصف قطرها (0.2m) تدحرجت من السكون من قمة سطح مائل خشن ارتفاعه الشاقولي (7m) بدحرجة صرف ما مقدار طاقته الحركية الكلية في أسفل السطح المائل علماً بأن عزم القصور الذاتي للكرة الصلدة I=2/5mr2.

I=25mr2=0.4×0.5×(0.2)2I=0.4×0.5×0.04=8×103Kgm2mgh=(KE)total mgh=KETf+KERotfmgh=12mv2+12Iω2mgh=12mv2+1212mr2v2r2v=107gh=107×10×7=100v=10m/sω=vr=100.2=50rad/sv=107gh=107×10×7=100v=10m/sω=vr=100.2=50rad/sKETt=mv2=12×0.5×102KETf=25JKERot f=12Iω2=12×0.008×(50)2(KE)total =KETf+KERot f=25J+10J(KE)total=35J

التحقق:

PEg=(KE)total (KE)total =mgh=0.5Kg×10NKg×7m=35N.m(KE)total =35J