حلول الأسئلة

السؤال

جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

الحل

$\begin{aligned} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [- 1, 0], [0, 1] \\ A = |\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x| + |\int_{0}^{1} (x^{3} - x) d x| \\ |{[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{- 1}^{0}| + |{[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1}| \\ A = |(0) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})| + |(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (0)| \\ A = |(0) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})| + |(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (0)| \\ A = |\frac{- 1 + 2}{4}| + |\frac{1 - 2}{4}| = |\frac{1}{4}| + |- \frac{1}{4}| \\ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} u n i t^{2} \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تطبيقات على التكامل المحدد

المساحة المحددة بمنحني الدالة ومحور السينات:

خطوات الحل:

إذا أعطى المستقيمين x=a وx=b نكتب على شكل فترة [a,b].
نجد التقاطع مع محور السينات (أي مساواة الدالة بالصفر) 0=f(x)
نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
نطبق القانون الآتي:

$A = | \int_{a}^{b} f (x) d x |$

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ (x - 3) (x + 1) \\ إما x = 3 \in [- 1, 3] \\ أو x = - 1 \in [- 1, 3] \end{aligned}$

$\begin{aligned} A & = | \int_{- 1}^{3} (x^{2} - 2 x - 3) d x | \\ = | {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{2 x^{2}}{2} - {{3 x |}_{- 1}^{3} |}_{- 1} | | \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x]}_{- 1}^{3} | \\ A & = | (9 - 9 - 9) - (- \frac{1}{3} - 1 + 3) | \\ A & = | (- 9) - (- \frac{1}{3} + 2) | \\ = | (- 9) - (\frac{- 1 + 6}{3}) | = | (- 9) - (\frac{5}{3}) | \\ A & = | - 9 - \frac{5}{3} | = | \frac{- 27 - 5}{3} | = | \frac{- 32}{3} | \\ = \frac{32}{3} u n i t^{2} \end{aligned}$

ملاحظة:

إذا لم يعطي فترة في السؤال فإن قيم x تعتبر حدود التكامل.

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

$\begin{aligned} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

$\begin{aligned} \sqrt{x + 1} = 0 الطرفين بتربيع \\ x + 1 = 0 \\ x = - 1 \notin [0, 3] تهمل \end{aligned}$

$\begin{aligned} A & = | \int_{0}^{3} (x + 1)^{\frac{1}{2}} d x | = | {[\frac{(x + 1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_{0}^{3} | \\ =∣ [{\frac{2}{3} (x + 1)^{\frac{3}{2}} |}_{0}^{3} ∣ \\ A & = \frac{2}{3} | (3 + 1)^{\frac{3}{2}} - (0 + 1)^{\frac{3}{2}} | \\ = \frac{2}{3} | (2)^{3} - (1)^{3} | = \frac{2}{3} | 8 - 1 | \\ A & = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3} u n i t^{2} \end{aligned}$

المساحة بين منحني دالتين:

خطوات الحل:

نساوي الدالتين $f (x) = g (x)$
التخلص من الجذور إن وجدت
نصفر الدالة $f (x) - g (x) = 0$
نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
نطبق القانون الآتي:

$A = | \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x |$

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \Rightarrow x = x^{3} \\ x - x^{3} = 0 \Rightarrow x (1 - x^{2}) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [- 1, 0], [0, 1] \\ A = | \int_{- 1}^{0} (x - x^{3}) d x | + | \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x | = | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{- 1}^{0} | + | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1} | \\ A = | (0) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) | + | (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) - (0) | \\ A = | \frac{- 2 + 1}{4} | + | \frac{2 - 1}{4} | = | \frac{- 1}{4} | + | - \frac{1}{4} | \\ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

5- لتكن $y = f (x) = x$ وعلى الفترة [1,1-] $y = g (x) = \sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \\ x = \sqrt[3]{x} الطرفين بتكعيب \Rightarrow x^{3} = x \Rightarrow x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \in [- 1 .1] \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \\ x = - 1 \in [- 1, 1] \\ x = - 1 \in [- 1, 1] \end{aligned}$

$\begin{aligned} [- 1, 0], [0, 1] \\ A = | \int_{- 1}^{0} (x - x^{\frac{1}{3}}) d x | + | \int_{0}^{1} (x - x^{\frac{1}{3}}) d x | = | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{- 1}^{0} | + | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{0}^{1} | \\ A = | (0) - (\frac{1}{2} - \frac{3}{4}) | + | (\frac{1}{2} - \frac{4}{4}) | \\ A = | \frac{- 2 + 3}{4} | + | \frac{2 - 3}{4} | = | \frac{1}{4} | + | \frac{- 1}{4} | \\ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

الحل

$\begin{aligned} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

تطبيقات على التكامل المحدد

المساحة المحددة بمنحني الدالة ومحور السينات:

خطوات الحل:

إذا أعطى المستقيمين x=a وx=b نكتب على شكل فترة [a,b].
نجد التقاطع مع محور السينات (أي مساواة الدالة بالصفر) 0=f(x)
نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
نطبق القانون الآتي:

$A = | \int_{a}^{b} f (x) d x |$

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ (x - 3) (x + 1) \\ إما x = 3 \in [- 1, 3] \\ أو x = - 1 \in [- 1, 3] \end{aligned}$

ملاحظة:

إذا لم يعطي فترة في السؤال فإن قيم x تعتبر حدود التكامل.

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

$\begin{aligned} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

$\begin{aligned} \sqrt{x + 1} = 0 الطرفين بتربيع \\ x + 1 = 0 \\ x = - 1 \notin [0, 3] تهمل \end{aligned}$

المساحة بين منحني دالتين:

خطوات الحل:

نساوي الدالتين $f (x) = g (x)$
التخلص من الجذور إن وجدت
نصفر الدالة $f (x) - g (x) = 0$
نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
نطبق القانون الآتي:

$A = | \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x |$

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \Rightarrow x = x^{3} \\ x - x^{3} = 0 \Rightarrow x (1 - x^{2}) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

حلول الأسئلة

جد المساحة المحددة بالدالة y = f ( x ) = x 3 − x ومحور السينات؟

مشاركة الحل

تطبيقات على التكامل المحدد

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة y=f(x)=x2−2x−3 ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة y=f(x)=x3−x ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة y=f(x)=x+1 ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين y=9(x)=x3y=f(x)=x

5- لتكن y=f(x)=x وعلى الفترة [1,1-] y=g(x)=x3 وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

مشاركة الدرس

جد المساحة المحددة بالدالة y = f ( x ) = x 3 − x ومحور السينات؟

تطبيقات على التكامل المحدد

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة y=f(x)=x2−2x−3 ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة y=f(x)=x3−x ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة y=f(x)=x+1 ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين y=9(x)=x3y=f(x)=x

5- لتكن y=f(x)=x وعلى الفترة [1,1-] y=g(x)=x3 وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

5- لتكن $y = f (x) = x$ وعلى الفترة [1,1-] $y = g (x) = \sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

5- لتكن $y = f (x) = x$ وعلى الفترة [1,1-] $y = g (x) = \sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟