جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y=f\left(x\right)=x^2-2x-3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

$\begin{array}{rl}& x^2-2x-3=0\\ & (x-3)(x+1)\\ & \mathrm{إما} x=3\in [-1,3]\\ & \mathrm{أو} x=-1\in [-1,3]\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& =\left|{\int }_{-1}^3(x^2-2x-3)dx\right|\\ & =\left|{[\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}-{{3x|}_{-1}^3|}_{-1}||\frac{x^3}{3}-x^2-3x]}_{-1}^3\right|\\ A& =\left|\right(9-9-9)-(-\frac{1}{3}-1+3)|\\ A& =\left|\right(-9)-(-\frac{1}{3}+2)|\\ & =\left|\right(-9)-\left(\frac{-1+6}{3}\right)|=\left|\right(-9)-\left(\frac{5}{3}\right)|\\ A& =|-9-\frac{5}{3}|=\left|\frac{-27-5}{3}\right|=\left|\frac{-32}{3}\right|\\ & =\frac{32}{3} uni{t}^2\end{array}$

تطبيقات على التكامل المحدد

المساحة المحددة بمنحني الدالة ومحور السينات:

خطوات الحل:

• إذا أعطى المستقيمين x=a وx=b نكتب على شكل فترة [a,b].

• نجد التقاطع مع محور السينات (أي مساواة الدالة بالصفر) 0=f(x)

• نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.

• نطبق القانون الآتي:

$A=\left|{\int }_a^{b}f\right(x\left)dx\right|$

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y=f\left(x\right)=x^2-2x-3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

$\begin{array}{rl}& x^2-2x-3=0\\ & (x-3)(x+1)\\ & \mathrm{إما} x=3\in [-1,3]\\ & \mathrm{أو} x=-1\in [-1,3]\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& =\left|{\int }_{-1}^3(x^2-2x-3)dx\right|\\ & =\left|{[\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}-{{3x|}_{-1}^3|}_{-1}||\frac{x^3}{3}-x^2-3x]}_{-1}^3\right|\\ A& =\left|\right(9-9-9)-(-\frac{1}{3}-1+3)|\\ A& =\left|\right(-9)-(-\frac{1}{3}+2)|\\ & =\left|\right(-9)-\left(\frac{-1+6}{3}\right)|=\left|\right(-9)-\left(\frac{5}{3}\right)|\\ A& =|-9-\frac{5}{3}|=\left|\frac{-27-5}{3}\right|=\left|\frac{-32}{3}\right|\\ & =\frac{32}{3} uni{t}^2\end{array}$

ملاحظة:

إذا لم يعطي فترة في السؤال فإن قيم x تعتبر حدود التكامل.

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y=f\left(x\right)=x^3-x$ ومحور السينات؟

$\begin{array}{rl}& x^3-x=0\Rightarrow x(x^2-1)=0\\ & \mathrm{إما} x=0\\ & \mathrm{أو} (x-1)(x+1)=0\end{array}$

$\begin{array}{r}[-1,0],[0,1]\\ A=\left|{\int }_{-1}^0 \left(x^3-x\right)dx\right|+\left|{\int }_0^1 \left(x^3-x\right)dx\right|\\ \left|{\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^0\right|+\left|{\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1\right|\\ A=\left|\left(0\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\right|+\left|\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)-\left(0\right)\right|\\ A=\left|\left(0\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\right|+\left|\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)-\left(0\right)\right|\\ A=\left|\frac{-1+2}{4}\right|+\left|\frac{1-2}{4}\right|=\left|\frac{1}{4}\right|+\left|-\frac{1}{4}\right|\\ A=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} uni{t}^2\end{array}$

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y=f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x+1}=0 \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\\ & x+1=0\\ & x=-1\notin [0,3] \mathrm{تهمل}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& =\left|{\int }_0^3\right(x+1{)}^{\frac{1}{2}}dx|=\left|{\left[\frac{(x+1{)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_0^3\right|\\ & =\mid [{\frac{2}{3}(x+1{)}^{\frac{3}{2}}|}_0^3\mid \\ A& =\frac{2}{3}\left|\right(3+1{)}^{\frac{3}{2}}-(0+1{)}^{\frac{3}{2}}|\\ & =\frac{2}{3}\left|\right(2{)}^3-\left(1{)}^3\right|=\frac{2}{3}|8-1|\\ A& =\frac{2}{3}\left(7\right)=\frac{14}{3} uni{t}^2\end{array}$

المساحة بين منحني دالتين:

خطوات الحل:

• نساوي الدالتين $f\left(x\right)=g\left(x\right)$
• التخلص من الجذور إن وجدت
• نصفر الدالة $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$
• نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
• نطبق القانون الآتي:

$A=\left|{\int }_a^b\right(f\left(x\right)-g\left(x\right)\left)dx\right|$

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y=9\left(x\right)=x^{3}y=f\left(x\right)=x$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow x=x^3\\ & x-x^3=0\Rightarrow x(1-x^2)=0\\ & \mathrm{إما} x=0\\ & \mathrm{أو} (x-1)(x+1)=0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& [-1,0],[0,1]\\ & A=\left|{\int }_{-1}^0(x-x^3)dx\right|+\left|{\int }_0^1(x-x^3)dx\right|=\left|{[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}]}_{-1}^0\right|+\left|{[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}]}_0^1\right|\\ & A=\left|\right(0)-(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})|+|(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})-(0\left)\right|\\ & A=\left|\frac{-2+1}{4}\right|+\left|\frac{2-1}{4}\right|=\left|\frac{-1}{4}\right|+|-\frac{1}{4}|\\ & A=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} {\text{unit}}^2\end{array}$

5- لتكن $y=f\left(x\right)=x$ وعلى الفترة [1,1-] $y=g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ & x=\sqrt[3]{x} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتكعيب} \Rightarrow x^3=x\Rightarrow x^3-x=0\Rightarrow x(x^2-1)=0\\ & \mathrm{إما} x=0\in [-1.1]\\ & \mathrm{أو} (x-1)(x+1)=0\\ & x=-1\in [-1,1]\\ & x=-1\in [-1,1]\end{array}$

$\begin{array}{rl}& [-1,0],[0,1]\\ & A=\left|{\int }_{-1}^0(x-x^{\frac{1}{3}})dx\right|+\left|{\int }_0^1(x-x^{\frac{1}{3}})dx\right|=\left|{[\frac{x^2}{2}-\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}]}_{-1}^0\right|+\left|{[\frac{x^2}{2}-\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}]}_0^1\right|\\ & A=\left|\right(0)-(\frac{1}{2}-\frac{3}{4})|+\left|(\frac{1}{2}-\frac{4}{4})\right|\\ & A=\left|\frac{-2+3}{4}\right|+\left|\frac{2-3}{4}\right|=\left|\frac{1}{4}\right|+\left|\frac{-1}{4}\right|\\ & A=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} {\text{unit}}^2\end{array}$