جد تكامل الدوال الآتية:

$\int \frac{(x-2)}{{(x^2-4x-5)}^{-2}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int {(x^2-4x-5)}^{-2}(x-2)dx\\ & \frac{1}{2}\int {(x^2-4x-5)}^{-2}(2x-4)dx\\ & \overline{f}\left(x\right)=2x-4=2(x-2)\\ & \frac{1}{2}\frac{{(x^2-4x-5)}^{-1}}{-1}+C=\frac{-1}{2(x^2-4x-5)}+C\end{array}$

التكامل

هو عملية معاكسة لعملية الاشتقاق $\int$

قواعد التكامل:

القاعدة الأولى:

$\int dx=x+c$ حيث $\to c$ ثابت التكامل

1- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int 6dx$

$\int 6dx=6x+C$

- $\int 3dx$

$\int 3dx=3x+C$

- $\int y6dx$

$\int ydx=yx+C$

القاعدة الثانية: تكامل دالة مرفوعة إلى أس $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

2- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int x^{2}dx$

$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$

- $\int x^{5}dx$

$\int x^{5}dx=\frac{x^6}{6}+C$

- $\int x^{-4}dx$

$\int x^{-4}dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C$

ملاحظة:

إذا كان الأس كسر موجب نطبق القاعدة $\frac{\mathrm{المقام}+\mathrm{البسط}}{\mathrm{نفسه} \mathrm{المقام}}$

- $\int x^{\frac{1}{2}}dx$

$\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{3}{2}}+C\Rightarrow \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$

- $\int x^{\frac{3}{2}}dx$

$\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+C\Rightarrow \frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$

ملاحظة:

إذا كان الأس كسر سالب نطبق القاعدة $\frac{\mathrm{المقام}-\mathrm{البسط}}{\mathrm{نفسه} \mathrm{المقام}}$

- $\int x^{-\frac{1}{2}}dx$

$\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C\Rightarrow 2x^{\frac{1}{2}}+C$

- $\int x^{-\frac{3}{5}}dx$

$\int x^{-\frac{3}{5}}dx=\frac{x^{\frac{2}{5}}}{\frac{2}{5}}+C\Rightarrow \frac{5}{2}{x}^{\frac{2}{5}}+C$

ملاحظة:

كل دالة جذرية يجب أن نحولها إلى دالة أسية حسب القاعدة $\int \sqrt[n]{x}dx=\int x^{\frac{1}{n}}dx$

- $\int \sqrt[3]{x^2}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \sqrt[3]{x^2}dx\\ =& \int x^{\frac{2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}+C=\frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}+C\\ =& \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}+C\end{array}$

- $\int \sqrt{x}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+C\end{array}$

- $\int \sqrt[4]{x}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \sqrt[4]{x}dx=\int x^{\frac{1}{4}}dx=\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}+C\\ & =\frac{4}{5}{x}^{\frac{5}{4}}+C=\frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}+c\end{array}$

القاعدة الثالثة: تكامل حاصل ضرب ثابتة × دالة - الثابت × تكامل الدالة

3- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int 6x^{2}dx$

$\int 6x^{2}dx=\frac{6x^3}{3}+C=2x^3+c$

- $\int 3x^{\frac{1}{2}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int 3x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C\\ & =3\left(\frac{2}{3}\right)x^{\frac{3}{2}}+C=2x^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$

ملاحظة:

كل دالة في المقام مرفوعة إلى أس نرفعها إلى البسط مع تغيير إشارة الأس

- $\int \frac{10}{x^{\frac{1}{2}}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{10}{x^{\frac{1}{2}}}dx\Rightarrow \int 10x^{-\frac{1}{2}}dx\\ & =\frac{10x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C\Rightarrow 20x^{\frac{1}{2}}+C\end{array}$

- $\int \frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\int \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}dx=\int 3x^{-\frac{2}{3}}dx\\ & =\frac{3x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=9x^{\frac{1}{3}}+C=9\sqrt[3]{x}+c\end{array}$

- $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx\Rightarrow \int \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx\\ & =\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C\Rightarrow 2x^{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+c\end{array}$

القاعدة الرابعة: تكامل حاصل جمع أو طرح عدة دوال = حاصل جمع أو طرح تكاملاتها.

أي أن التكامل يتوزع على عمليتي الجمع والطرح ولا يتوزع على الضرب والقسمة.

4- حد تكامل الدوال الآتية :

- $\int (3x^2+6x+8)dx$

$$\begin{gathered} \int (3x^2+6x+8)dx=\frac{3x^3}{3}+\frac{6x^2}{2}+8x+C \\ =x^3+3x^2+8x+C \end{gathered}$$

- $\int \left(\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}dx\right)$

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}dx\right)=\int (x^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}})dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{2}{3}})dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{3x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-9x^{\frac{1}{3}}+C$

ملاحظة:

لا يوجد حاصل ضرب دالتين في التكامل وإنما تجري عملية ضرب التوزيع

- $\int \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)dx$

$\int \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)dx=\int x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}+1)dx=\int (x+x^{\frac{1}{2}})dx=\frac{x^2}{2}+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{x^2}{2}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$

- $\int (x^2+1)(2x-3)dx$

$\begin{array}{rl}& \int (x^2+1)(2x-3)dx\\ & =\int (2x^3-3x^2+2x-3)dx\\ & =\frac{2x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}-3x+C=\frac{x^4}{2}-x^3+x^2-3x+C\end{array}$

- $\int (x^2+3)(x-2)dx$

$\begin{array}{rl}& \int (x^2+3)(x-2)dx\\ & =\int (x^3-2x^2+3x-6)dx\\ & =\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-6x+C\end{array}$

- $\int (2x+5)(x+1)dx$

$\begin{array}{rl}& \int (2x+5)(x+1)dx\\ & =\int (2x^2+2x+5x+5)dx\\ & =\int (2x^2+7x+5)dx=\frac{2x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+5x+C\end{array}$

ملاحظة:

إذا كانت الدالة كسرية مقامها مرفوع إلى قوة واحد عند الحل تستخدم الطريقة التحليل.

- $\int \frac{x^3+27}{x+3}dx$

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^3+27}{x+3}dx& =\int \frac{(x+3)(x^2-3x+9)}{x+3}dx\\ & =\int (x^2-3x+9)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+9x+C\end{array}$

- $\int \frac{x^4-8x}{x-2}dx$

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^4-8x}{x-2}& dx=\int \frac{x(x^3-8)}{x-2}dx\\ & =\int \frac{x(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}dx\\ & =\int x(x^2+2x+4)dx=\int (x^3+2x^2+4x)dx\\ & =\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{4x^2}{2}+C=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+2x^2+C\end{array}$

- $\int \frac{2x^2-8}{x-2}dx$

$\begin{array}{c}\int \frac{2x^2-8}{x-2}dx\int \frac{2(x^2-4)}{x-2}dx\\ \int \frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}dx=\int (2x+4)dx\\ =\frac{2x^2}{2}+4x+C=x^2+4x+C\end{array}$

- $\int \frac{{(3x^2-4)}^2-16}{2}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{{(3x^2-4)}^2-16}{2}dx\\ \int & \frac{9x^4-24x^2+16-16}{x^2}dx\\ =& \int \frac{9x^4-24x^2}{x^2}dx=\int x^{-2}(9x^4-24x^2)dx=\int (9x^2-24)dx\\ =& \frac{9x^3}{3}-24x+C3x^3-24x+C\end{array}$

القاعدة الخامسة: تكامل قوس مرفوع إلى أس يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة خارج القوس

$\int \left[F\right(x\left){]}^n\overline{f}\right(x)dx=\frac{\left[F\right(x){]}^{n+1}}{n+1}+C$

5- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int {(3x^2+6)}^5$

$6xdx$ تهمل

مشتقة داخل القوس $\overline{f}\left(x\right)=6x$ موجودة خارج القوس

$\frac{{(3x^2+6)}^6}{6}+C$

- $\int {(x^3+7)}^5{x}^{2}dx$

$\overline{f}\left(x\right)=3x^2$

مشتقة داخل القوس لا تشبه خارج القوس نضرب 3 ونقسم 3

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}\int {(x^3+7)}^5\left(3x^2\right)dx\\ & \frac{1}{3}\frac{{(x^3+7)}^5}{6}+C\Rightarrow \frac{{(x^3+7)}^6}{18}+C\end{array}$

- $\int \frac{(x-2)}{{(x^2-4x-5)}^{-2}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int {(x^2-4x-5)}^{-2}(x-2)dx\\ & \frac{1}{2}\int {(x^2-4x-5)}^{-2}(2x-4)dx\\ & \overline{f}\left(x\right)=2x-4=2(x-2)\\ & \frac{1}{2}\frac{{(x^2-4x-5)}^{-1}}{-1}+C=\frac{-1}{2(x^2-4x-5)}+C\end{array}$

- $\int \frac{x^3}{\sqrt[5]{5-x^4}}dx$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{x^3}{{(5-x^4)}^{\frac{1}{5}}}dx=\int {(5-x^4)}^{\frac{-1}{5}}{x}^{3}dx\\ & -\frac{1}{4}\int {(5-x^4)}^{\frac{-1}{5}}(-4x^3)dx\overline{f}\left(x\right)=-4x^2\\ & \frac{-1}{4}\frac{{(5-x^4)}^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}+C\Rightarrow -\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{4}{(5-x^4)}^{\frac{4}{5}}+C\\ & =\frac{-5}{16}{(5-x^4)}^{\frac{4}{5}}+C=\frac{-5}{16}\sqrt[5]{{(5-x^4)}^4}+C\end{array}$

- $\int \frac{x+1}{\sqrt[3]{3x^2+6x+3}}dx$

$\begin{array}{r}\int \frac{x+1}{{\left(3x^2+6x+3\right)}^{\frac{1}{3}}}dx\\ =\int {\left(3x^2+6x+3\right)}^{-\frac{1}{3}}(x+1)dx\\ \frac{1}{6}\int {\left(3x^2+6x+3\right)}^{-\frac{1}{3}}(6x+6)dx\overline{f}\left(x\right)=6x+6\\ \frac{1}{6}\frac{{\left(3x^2+6x+3\right)}^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}+C\\ \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}{\left(3x^2+6x+3\right)}^{\frac{2}{3}}+C\\ \frac{1}{4}{\left(3x^2+6x+3\right)}^{\frac{2}{3}}+C\end{array}$

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال قوس مرفوع إلى أس وكانت مشتقة داخل القوس غير موجود خارج القوس فهناك احتمالات:

الاحتمال الأول: إذا كانت حدودية ثلاثية عند الحل نحولها إلى صورة مربع كامل حسب القانون الآتي:

${\left(\sqrt{\mathrm{الأول} \mathrm{الحد}}\pm \sqrt{\mathrm{الثالث} \mathrm{الحد}}\right)}^2$

- $\int \frac{dx}{\sqrt[5]{x^2-14x+49}}$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{dx}{\sqrt[5]{(x-7{)}^2}}\Rightarrow \int \frac{dx}{(x-7{)}^{\frac{2}{5}}}\Rightarrow \int (x-7{)}^{\frac{-2}{5}}dx\\ & =\frac{(x-7{)}^{\frac{3}{5}}}{3}+C\Rightarrow \frac{5}{3}(x-7{)}^{\frac{3}{5}}+C\\ & =\frac{5}{3}\sqrt[5]{(x-7{)}^3}+C\end{array}$

- $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2-4x+4}}$

$\begin{array}{rl}& \int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x-2{)}^2}}\Rightarrow \int \frac{dx}{(x-2{)}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow \int (x-2{)}^{\frac{-2}{3}}dx\\ & =\frac{(x-2{)}^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}+C\Rightarrow 3(x-7{)}^{\frac{1}{3}}+C\\ & =3\sqrt[5]{(x+2}+C\end{array}$

- $\int \frac{dx}{4x^2-12x+9}$

$\begin{array}{c}\int \frac{dx}{(2x-3{)}^2}\Rightarrow \int (2x-3{)}^{-2}dx\\ \frac{1}{2}\int (2x-3{)}^{-2}dx\overline{f}(x)=2\\ \frac{1}{2}=\frac{(2x-3{)}^{-1}}{-1}+C\Rightarrow \frac{-1}{2(2x-3)}+C\end{array}$

الاحتمال الثاني: مشتقة داخل القوس غير موجودة خارج القوس نستخرج عامل مشترك بأصغر أس

- ${\int }_0^3\sqrt[3]{3x^3-5x^5}dx$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \int \sqrt[3]{x^3(3-5x^2)}dx\\ & \int {(3-5x^2)}^{\frac{1}{3}}\times dx\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{-1}{10}\int {(3-5x^2)}^{\frac{1}{3}}(-10xdx)\overline{f}\left(x\right)=-10x\\ & \frac{-1}{10}\cdot \frac{{(3-5x^2)}^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C\Rightarrow \frac{-1}{10}\cdot \frac{3}{4}{(3-5x^2)}^{\frac{4}{3}}+C\\ & \frac{-3}{40}\sqrt[3]{{(3-5x^2)}^4}+C\end{array} \end{gathered}$$