حلول الأسئلة

السؤال

نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

الحل

نفرض الطول = 2x

نفرض العرض = y

نفرض نصف قطر الدائرة = x

الشكل

المساحة = مساحة المستطيل + مساحة نصف دائرة

$\begin{aligned} A = 2 x y + \frac{1}{2} π x^{2} . . . . . . (1) \\ P = 2 (2 x + y) \Rightarrow 8 = 2 (2 x + y) \div 2 \\ 2 x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 2 x . . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{aligned} A = 2 x (4 - 2 x) + \frac{1}{2} π x^{2} \\ A = 8 x - 4 x^{2} + \frac{1}{2} π x^{2} \\ \bar{A} = 8 - 8 x + π x = 0 \Rightarrow - 8 x + π x = - 8 \\ - x (8 - π) = - 8 \div (8 - π) \\ x = \frac{8}{8 - π} ∴ 2 x \Rightarrow (\frac{8}{8 - π}) \\ 2 x = \frac{16}{8 - π} m \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{aligned} y = 4 - 2 (\frac{8}{8 - π}) = 4 - \frac{16}{8 - π} \Rightarrow \frac{32 - 4 π - 16}{8 - π} \\ ∴ y = \frac{16 - 4 π}{8 - π} m \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تمارين (7-3)

1- جد عددين مجموعهما (15) وحاصل ضرب أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{matrix} m = x y^{2} . . . . . . . (1) \\ x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - x . . . . (2) \end{matrix}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} m = x (15 - x)^{2} \\ \bar{m} = x (2) (15 - x) (- 1) + (15 - x)^{2} (1) \\ - 2 x (15 - x) + (15 - x)^{2} = 0 \\ (15 - x) [- 2 x + 15 - x] = 0 \\ إما 15 - x = 0 \Rightarrow x = 15 تهمل \\ أو - 3 x + 15 = 0 \Rightarrow - 3 x = - 15] \div - 3 \Rightarrow x = 5 الأول العدد \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 15 - 5 = 10$

الشكل

2- ما العدد الذي زيادة على مربعه أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد = x

نفرض مربعه = x2

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{aligned} m = x - x^{2} \\ \bar{m} = 1 - 2 x, \bar{m} = 0 \Rightarrow 1 - 2 x = 0 \\ 2 x = 1 \Rightarrow∴ x = \frac{1}{2} \end{aligned}$

الشكل

3- جد عددين موجبين مجموعهما (15) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{matrix} m = x^{2} x^{3} . . . . . . (1) \\ x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - x . . . (2) \end{matrix}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} m = x^{2} (15 - x)^{3} \\ \bar{\bar{} m} = x^{2} (3) (15 - x)^{2} (- 1) + (15 - x)^{3} 2 x = 0 \\ - 3 x^{2} (15 - x)^{2} + 2 x (15 - x)^{3} = 0 \\ x (15 - x)^{2} [- 3 x + 2 (15 - x)] = 0 \\ إما x = 0 يهمل أو x = 15 يهمل \\ أو - 3 x + 30 - 2 x = 0 \Rightarrow - 5 x + 30 \\ + 5 x = - 30] \div - 5 \Rightarrow x = 6 \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 15 - 6 = 9$

4- جد عددين مجموعهما (10) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$m = x^{2} y^{2} . . . . . (1) x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} m = x^{2} (10 - x)^{2} \\ \bar{m} = x (2) (10 - x) (- 1) + (10 - x)^{2} 2 x = 0 \\ - 2 x^{2} (10 - x) + 2 x (10 - x)^{2} = 0 \\ 2 x (10 - x) [- x + 10 - x] = 0 \\ إما 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 يهمل \\ أو 10 - x = 0 \Rightarrow x = 10 يهمل \\ أو - x + 10 - x = 0 \Rightarrow - 2 x + 10 = 0] \div - 2 \\ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 الأول العدد \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 10 - 5 = 5$

الشكل

5- قطعة أرض مستطيلة يحدها نهر من إحدى جهاتها جد أكبر مساحة من الأرض يمكن نسيجها بسياج طوله (100) متر؟

نفرض الطول = y

نفرض العرض $x = A = x \cdot y . . . . (1)$

الشكل

$\begin{aligned} P = 2 x + y المحيط \\ 100 = 2 x + y \Rightarrow y = 100 - 2 x . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} A = x (100 - 2 x) \Rightarrow A = 100 x - 2 x^{2} \\ \bar{A} = 100 - 4 x = 0] \div 4 \Rightarrow 25 - x = 0 \Rightarrow x = 25 cm \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{aligned} y = 100 - 2 (25) = 100 - 50 = 50 \\ ∴ A = x y \Rightarrow A = 25 (50) = 1250 m \end{aligned}$

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه $(108) m^{3}$ جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A = 4 x h + x^{2} . . . . (1)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V = x^{2} h \Rightarrow 108 = x^{2} h \Rightarrow h = \frac{108}{x^{2}} . . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} A = 4 x (\frac{108}{x^{2}}) + x^{2} \\ A = \frac{432}{x} + x^{2} \\ \bar{A} = \frac{- 432}{x^{2}} + 2 x = 0] x^{2} \\ - 432 + 2 x^{3} = 0] \div 2 \Rightarrow - 216 + x^{3} = 0 \\ x^{3} = 216 التكعيبي بالجذر \\ x = 6 \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = \frac{108}{36} = 3$

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن $m = 224 t - 16 t^{2}$ احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟

$\begin{aligned} \bar{m} = 224 - 32 t = 0] \div 32 \\ 7 - t = 0 \Rightarrow t = 7 b ثا \end{aligned}$

يصل الجسم أقصى ارتفاع بعد 7 ثواني

8- نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = 2x

نفرض العرض = y

نفرض نصف قطر الدائرة = x

الشكل

المساحة = مساحة المستطيل + مساحة نصف دائرة

$\begin{aligned} A = 2 x y + \frac{1}{2} π x^{2} . . . . . . (1) \\ P = 2 (2 x + y) \Rightarrow 8 = 2 (2 x + y) \div 2 \\ 2 x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 2 x . . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{aligned} y = 4 - 2 (\frac{8}{8 - π}) = 4 - \frac{16}{8 - π} \Rightarrow \frac{32 - 4 π - 16}{8 - π} \\ ∴ y = \frac{16 - 4 π}{8 - π} m \end{aligned}$

9- في ورشة للتجارة يراد صنع صندوق من الخشب على شكل متوازي السطوح قاعدة مربعة الشكل بدون غطاء جد أبعاد الصندوق لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن مجموع محيط قاعدته وارتفاعه $90 m$

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

$V = x^{2} h . . . . . (1)$

محيط القاعدة + الارتفاع = 90

$4 x + h = 90 \Rightarrow h = 90 - 4 x . . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} V = x^{2} (90 - 4 x) \\ V = 90 x^{2} - 4 x^{3} \\ \bar{V} = 180 x - 12 x^{2} = 0] \div 12 \\ 15 x - x^{2} = 0 \Rightarrow x (15 - x) = 0 \end{aligned} \begin{aligned} إما x = 0 يهمل \\ أو x = 15 m \end{aligned}$

تعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = 90 - 4 (15) \Rightarrow h = 90 - 60 = 30 m$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

الحل

نفرض الطول = 2x

نفرض العرض = y

نفرض نصف قطر الدائرة = x

الشكل

المساحة = مساحة المستطيل + مساحة نصف دائرة

$\begin{aligned} A = 2 x y + \frac{1}{2} π x^{2} . . . . . . (1) \\ P = 2 (2 x + y) \Rightarrow 8 = 2 (2 x + y) \div 2 \\ 2 x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 2 x . . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{aligned} y = 4 - 2 (\frac{8}{8 - π}) = 4 - \frac{16}{8 - π} \Rightarrow \frac{32 - 4 π - 16}{8 - π} \\ ∴ y = \frac{16 - 4 π}{8 - π} m \end{aligned}$

تمارين (7-3)

1- جد عددين مجموعهما (15) وحاصل ضرب أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{matrix} m = x y^{2} . . . . . . . (1) \\ x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - x . . . . (2) \end{matrix}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 15 - 5 = 10$

الشكل

2- ما العدد الذي زيادة على مربعه أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد = x

نفرض مربعه = x2

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{aligned} m = x - x^{2} \\ \bar{m} = 1 - 2 x, \bar{m} = 0 \Rightarrow 1 - 2 x = 0 \\ 2 x = 1 \Rightarrow∴ x = \frac{1}{2} \end{aligned}$

الشكل

3- جد عددين موجبين مجموعهما (15) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$\begin{matrix} m = x^{2} x^{3} . . . . . . (1) \\ x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - x . . . (2) \end{matrix}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 15 - 6 = 9$

4- جد عددين مجموعهما (10) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

نفرض العدد الأول = x

نفرض العدد الثاني = y

نفرض أكبر ما يمكن

$m = x^{2} y^{2} . . . . . (1) x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 10 - 5 = 5$

الشكل

5- قطعة أرض مستطيلة يحدها نهر من إحدى جهاتها جد أكبر مساحة من الأرض يمكن نسيجها بسياج طوله (100) متر؟

نفرض الطول = y

نفرض العرض $x = A = x \cdot y . . . . (1)$

الشكل

$\begin{aligned} P = 2 x + y المحيط \\ 100 = 2 x + y \Rightarrow y = 100 - 2 x . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} A = x (100 - 2 x) \Rightarrow A = 100 x - 2 x^{2} \\ \bar{A} = 100 - 4 x = 0] \div 4 \Rightarrow 25 - x = 0 \Rightarrow x = 25 cm \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{aligned} y = 100 - 2 (25) = 100 - 50 = 50 \\ ∴ A = x y \Rightarrow A = 25 (50) = 1250 m \end{aligned}$

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه $(108) m^{3}$ جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A = 4 x h + x^{2} . . . . (1)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V = x^{2} h \Rightarrow 108 = x^{2} h \Rightarrow h = \frac{108}{x^{2}} . . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = \frac{108}{36} = 3$

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن $m = 224 t - 16 t^{2}$ احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟

$\begin{aligned} \bar{m} = 224 - 32 t = 0] \div 32 \\ 7 - t = 0 \Rightarrow t = 7 b ثا \end{aligned}$

يصل الجسم أقصى ارتفاع بعد 7 ثواني

8- نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = 2x

نفرض العرض = y

نفرض نصف قطر الدائرة = x

الشكل

المساحة = مساحة المستطيل + مساحة نصف دائرة

$\begin{aligned} A = 2 x y + \frac{1}{2} π x^{2} . . . . . . (1) \\ P = 2 (2 x + y) \Rightarrow 8 = 2 (2 x + y) \div 2 \\ 2 x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - 2 x . . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$\begin{aligned} y = 4 - 2 (\frac{8}{8 - π}) = 4 - \frac{16}{8 - π} \Rightarrow \frac{32 - 4 π - 16}{8 - π} \\ ∴ y = \frac{16 - 4 π}{8 - π} m \end{aligned}$

9- في ورشة للتجارة يراد صنع صندوق من الخشب على شكل متوازي السطوح قاعدة مربعة الشكل بدون غطاء جد أبعاد الصندوق لكي يكون حجمه أكبر ما يمكن علماً أن مجموع محيط قاعدته وارتفاعه $90 m$

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

$V = x^{2} h . . . . . (1)$

محيط القاعدة + الارتفاع = 90

$4 x + h = 90 \Rightarrow h = 90 - 4 x . . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

تعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = 90 - 4 (15) \Rightarrow h = 90 - 60 = 30 m$

حلول الأسئلة

نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

مشاركة الحل

تمارين (7-3)

1- جد عددين مجموعهما (15) وحاصل ضرب أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

2- ما العدد الذي زيادة على مربعه أكبر ما يمكن؟

3- جد عددين موجبين مجموعهما (15) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن؟

4- جد عددين مجموعهما (10) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

5- قطعة أرض مستطيلة يحدها نهر من إحدى جهاتها جد أكبر مساحة من الأرض يمكن نسيجها بسياج طوله (100) متر؟

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه (108)m3 جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن m=224t−16t2 احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟

8- نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

مشاركة الدرس

نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

تمارين (7-3)

1- جد عددين مجموعهما (15) وحاصل ضرب أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

2- ما العدد الذي زيادة على مربعه أكبر ما يمكن؟

3- جد عددين موجبين مجموعهما (15) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مكعب الآخر أكبر ما يمكن؟

4- جد عددين مجموعهما (10) وحاصل ضرب مربع أحدهما في مربع الأخر أكبر ما يمكن؟

5- قطعة أرض مستطيلة يحدها نهر من إحدى جهاتها جد أكبر مساحة من الأرض يمكن نسيجها بسياج طوله (100) متر؟

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه (108)m3 جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن m=224t−16t2 احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟

8- نافذة على شكل مستطيل يعلوه نص دائرة بحيث ينطبق قطرها على أحد أبعاد المستطيل لكي تكون مساحة النافذة أكبر ما يمكن؟

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه $(108) m^{3}$ جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن $m = 224 t - 16 t^{2}$ احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟

6- حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة وحجمه $(108) m^{3}$ جد أبعاده حيث تكون مساحة الألواح المستخدمة في صنعة أقل ما علن؟

7- أطلقت رصاصة إلى الأعلى وكان ارتفاعها (m) متر في نهاية t من الثواني حيث أن $m = 224 t - 16 t^{2}$ احسب أقصى ارتفاع تصل إليه الرصاصة؟