حلول الأسئلة

السؤال

يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

الحل

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A = 4 x h + x^{2} . . . . . (1)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V = x^{2} h \Rightarrow 864 = x^{2} h \Rightarrow h = \frac{864}{x^{2}} . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{aligned} V = 4 x (\frac{864}{x^{2}}) + x^{2} \Rightarrow V = \frac{3456}{x} + x^{2} \\ \bar{V} = \frac{- 3456}{x^{2}} + 2 x = 0] x^{2} \\ - 3456 + 2 x^{3} = 0] \div 2 \Rightarrow - 1728 + x^{3} = 0 \\ التكعيبي بالجذر x^{3} = 1728 \Rightarrow x = 12 m \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = \frac{864}{144} = 6$

نعوض قيمة x وh في معادلة (1) لإيجاد المساحة

$A = 4 (12) (6) + 144 = 288 + 144 = 432 m^{2}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

قوانين الأشكال الهندسية

المربع: مساحة = (طول الضلع)² $A = x^{2}$

محيطه = 4 × طول الضلع $P = 4 x$

المستطيل: مساحة = الطول × العرض $A = x y$

محيطه = 2 (الطول × العرض) $P = 2 (x + y)$

الدائرة: المساحة = مربع نصف القطر في النسبة الثانية $A = π r^{2}$
المتوازي: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال شكل هندسي عند الحل نتبع ما يلي:

نرسم الشكل ونصفين الأبعاد إن أمكن (الطول العرض)
نكتب الدالة الشكل المراد نهاية الذي بصيغة أكبر أو أصغر ومنها نجد معادلة (1)
نجد علاقة بين متغيرات المسألة (قانون المساحة أو المحيط أو الحجم) ومنها نجد معاملة رقم (2)
نعوض معادلة (2) في معادلة (1)
نشتق ثم مساواة المشتقة بالصفر.
نستخرج قيم x ثم نعوض قيمة x في معادلة (2) لإيجاد y

1- جد أبعاد أكبر مستطيل محيطه (40) متر؟

نفرض الطول = x، نفرض العرض = y

$\begin{aligned} A = x \cdot y . . . . . . (1) \\ P = 2 (x + y) \Rightarrow 40 = 2 (x + y) \div 2 \\ x + y = 20 \\ y = 20 - x . . . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (2) في (1)

$\begin{aligned} A = x (20 - x) \\ \bar{A} = 20 - 2 x = 0 \div 2 \\ 10 - x = 0 \Rightarrow x = 10 الطول \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 20 - 10 = 10$

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل $(100) {cm}^{2}$

نفرض الطول = x، نفرض العرض = y

$\begin{aligned} P = 2 x + 2 y . . . . . (1) \\ A = x \cdot y \Rightarrow 100 = x \cdot y \div x \\ y = \frac{100}{x} . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{aligned} P = 2 x + (\frac{100}{x}) \\ P = 2 x + \frac{200}{x} \Rightarrow \bar{P} = 2 + \frac{x (0) - 200 (1)}{x^{2}} \\ \bar{P} = 0 \\ 2 - \frac{200}{x^{2}} = 0] x^{2} \\ 2 x^{2} - 200 = 0] \div 2 \\ x^{2} = 100 التربيعي بالجذر \\ x = 10 \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = \frac{100}{10} = 10$

نعوض قيمة x وy في (1) لإيجاد المحيط

$\begin{aligned} P = 2 (10) + 2 (10) \\ p = 20 + 20 = 40 متر \end{aligned}$

3- من مستطيل محيطه $(120) c m$ قطعة مستطيلة على شكل نصف دائرة ينطبق قطرها على أحد الضلعين الصغيرين للمستطيل ما أبعاد ذلك المستطيل لكي تكون المساحة المتبقية بعد القطع أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = y، نفرض العرض = 2x

نفرض نصف قطر الدائرة = x

المساحة الكلية = مساحة المستطيل - مساحة نصف دائرة

الشكل

$\begin{array}{l} A = 2 x y - \frac{1}{2} π x^{2} . . . . . . . (1) \\ P = 22 x + y \Rightarrow 120 - 22 x + y \div 2 \Rightarrow 2 x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2 x . . . . . (2) \end{array}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{aligned} A = 2 x (60 - 2 x) - \frac{1}{2} π x^{2} \\ A = 120 x - 4 x^{2} - \frac{1}{2} π x^{2} \Rightarrow \bar{A} = 120 - 8 x - π x = 0 \Rightarrow - 120 \\ - x (8 + π) = - 120 \Rightarrow x = \frac{120}{8 + π} \end{aligned}$

العرض 2x

$2 (\frac{120}{8 + π}) = \frac{2 + 0}{8 + π}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 60 - 2 (\frac{120}{8 + π}) = 60 - \frac{240}{8 + π} \Rightarrow y = \frac{480 + 60 π - 240}{8 + π} = \frac{240 + 60 π}{8 + π} cm$

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A = 4 x h + x^{2} . . . . . (1)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V = x^{2} h \Rightarrow 864 = x^{2} h \Rightarrow h = \frac{864}{x^{2}} . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = \frac{864}{144} = 6$

نعوض قيمة x وh في معادلة (1) لإيجاد المساحة

$A = 4 (12) (6) + 144 = 288 + 144 = 432 m^{2}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

الحل

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A = 4 x h + x^{2} . . . . . (1)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V = x^{2} h \Rightarrow 864 = x^{2} h \Rightarrow h = \frac{864}{x^{2}} . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = \frac{864}{144} = 6$

نعوض قيمة x وh في معادلة (1) لإيجاد المساحة

$A = 4 (12) (6) + 144 = 288 + 144 = 432 m^{2}$

قوانين الأشكال الهندسية

المربع: مساحة = (طول الضلع)² $A = x^{2}$

محيطه = 4 × طول الضلع $P = 4 x$

المستطيل: مساحة = الطول × العرض $A = x y$

محيطه = 2 (الطول × العرض) $P = 2 (x + y)$

الدائرة: المساحة = مربع نصف القطر في النسبة الثانية $A = π r^{2}$
المتوازي: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال شكل هندسي عند الحل نتبع ما يلي:

نرسم الشكل ونصفين الأبعاد إن أمكن (الطول العرض)
نكتب الدالة الشكل المراد نهاية الذي بصيغة أكبر أو أصغر ومنها نجد معادلة (1)
نجد علاقة بين متغيرات المسألة (قانون المساحة أو المحيط أو الحجم) ومنها نجد معاملة رقم (2)
نعوض معادلة (2) في معادلة (1)
نشتق ثم مساواة المشتقة بالصفر.
نستخرج قيم x ثم نعوض قيمة x في معادلة (2) لإيجاد y

1- جد أبعاد أكبر مستطيل محيطه (40) متر؟

نفرض الطول = x، نفرض العرض = y

$\begin{aligned} A = x \cdot y . . . . . . (1) \\ P = 2 (x + y) \Rightarrow 40 = 2 (x + y) \div 2 \\ x + y = 20 \\ y = 20 - x . . . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (2) في (1)

$\begin{aligned} A = x (20 - x) \\ \bar{A} = 20 - 2 x = 0 \div 2 \\ 10 - x = 0 \Rightarrow x = 10 الطول \end{aligned}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 20 - 10 = 10$

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل $(100) {cm}^{2}$

نفرض الطول = x، نفرض العرض = y

$\begin{aligned} P = 2 x + 2 y . . . . . (1) \\ A = x \cdot y \Rightarrow 100 = x \cdot y \div x \\ y = \frac{100}{x} . . . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض معادلة (2) في (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = \frac{100}{10} = 10$

نعوض قيمة x وy في (1) لإيجاد المحيط

$\begin{aligned} P = 2 (10) + 2 (10) \\ p = 20 + 20 = 40 متر \end{aligned}$

3- من مستطيل محيطه $(120) c m$ قطعة مستطيلة على شكل نصف دائرة ينطبق قطرها على أحد الضلعين الصغيرين للمستطيل ما أبعاد ذلك المستطيل لكي تكون المساحة المتبقية بعد القطع أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = y، نفرض العرض = 2x

نفرض نصف قطر الدائرة = x

المساحة الكلية = مساحة المستطيل - مساحة نصف دائرة

الشكل

$\begin{array}{l} A = 2 x y - \frac{1}{2} π x^{2} . . . . . . . (1) \\ P = 22 x + y \Rightarrow 120 - 22 x + y \div 2 \Rightarrow 2 x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2 x . . . . . (2) \end{array}$

نعوض معادلة (2) في (1)

العرض 2x

$2 (\frac{120}{8 + π}) = \frac{2 + 0}{8 + π}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y = 60 - 2 (\frac{120}{8 + π}) = 60 - \frac{240}{8 + π} \Rightarrow y = \frac{480 + 60 π - 240}{8 + π} = \frac{240 + 60 π}{8 + π} cm$

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

الشكل

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A = 4 x h + x^{2} . . . . . (1)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V = x^{2} h \Rightarrow 864 = x^{2} h \Rightarrow h = \frac{864}{x^{2}} . . . . . (2)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h = \frac{864}{144} = 6$

نعوض قيمة x وh في معادلة (1) لإيجاد المساحة

$A = 4 (12) (6) + 144 = 288 + 144 = 432 m^{2}$

حلول الأسئلة

يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه ( 864 ) m 3 أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

مشاركة الحل

قوانين الأشكال الهندسية

1- جد أبعاد أكبر مستطيل محيطه (40) متر؟

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل (100)cm2

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه (864)m3 أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

مشاركة الدرس

يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه ( 864 ) m 3 أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

قوانين الأشكال الهندسية

1- جد أبعاد أكبر مستطيل محيطه (40) متر؟

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل (100)cm2

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه (864)m3 أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل $(100) {cm}^{2}$

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل $(100) {cm}^{2}$

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $(864) m^{3}$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟