من مستطيل محيطه $\left(120\right)cm$ قطعة مستطيلة على شكل نصف دائرة ينطبق قطرها على أحد الضلعين الصغيرين للمستطيل ما أبعاد ذلك المستطيل لكي تكون المساحة المتبقية بعد القطع أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = y، نفرض العرض = 2x

نفرض نصف قطر الدائرة = x

المساحة الكلية = مساحة المستطيل - مساحة نصف دائرة

$\begin{array}{l}A=2xy-\frac{1}{2}\pi x^2.......\left(1\right)\\ P=22x+y\Rightarrow 120-22x+y÷2\Rightarrow 2x+y=60\Rightarrow y=60-2x.....\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& A=2x(60-2x)-\frac{1}{2}\pi x^2\\ & A=120x-4x^2-\frac{1}{2}\pi x^2\Rightarrow \overline{A}=120-8x-\pi x=0\Rightarrow -120\\ & -x(8+\pi )=-120\Rightarrow x=\frac{120}{8+\pi }\end{array}$

العرض 2x

$2\left(\frac{120}{8+\pi }\right)=\frac{2+0}{8+\pi }$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=60-2\left(\frac{120}{8+\pi }\right)=60-\frac{240}{8+\pi }\Rightarrow y=\frac{480+60\pi -240}{8+\pi }=\frac{240+60\pi }{8+\pi }\mathrm{cm}$

قوانين الأشكال الهندسية

• المربع: مساحة = (طول الضلع)² $A=x^2$

محيطه = 4 × طول الضلع $P=4x$

• المستطيل: مساحة = الطول × العرض $A=xy$

محيطه = 2 (الطول × العرض) $P=2(x+y)$

• الدائرة: المساحة = مربع نصف القطر في النسبة الثانية $A=\pi r^2$

• المتوازي: الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + 2 × مساحة القاعدة

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال شكل هندسي عند الحل نتبع ما يلي:

1. نرسم الشكل ونصفين الأبعاد إن أمكن (الطول العرض)

2. نكتب الدالة الشكل المراد نهاية الذي بصيغة أكبر أو أصغر ومنها نجد معادلة (1)

3. نجد علاقة بين متغيرات المسألة (قانون المساحة أو المحيط أو الحجم) ومنها نجد معاملة رقم (2)

4. نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

5. نشتق ثم مساواة المشتقة بالصفر.

6. نستخرج قيم x ثم نعوض قيمة x في معادلة (2) لإيجاد y

1- جد أبعاد أكبر مستطيل محيطه (40) متر؟

نفرض الطول = x، نفرض العرض = y

$\begin{array}{rl}& A=x\cdot y......\left(1\right)\\ & P=2(x+y)\Rightarrow 40=2(x+y)÷2\\ & x+y=20\\ & y=20-x........\left(2\right)\end{array}$

نعوض المعادلة (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& A=x(20-x)\\ & \overline{A}=20-2x=0÷2\\ & 10-x=0\Rightarrow x=10 \mathrm{الطول}\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=20-10=10$

2- جد أقل محيط ممكن لمستطيل $\left(100\right){\mathrm{cm}}^2$

نفرض الطول = x، نفرض العرض = y

$\begin{array}{rl}& P=2x+2y.....\left(1\right)\\ & A=x\cdot y\Rightarrow 100=x\cdot y÷x\\ & y=\frac{100}{x}......\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& P=2x+\left(\frac{100}{x}\right)\\ & P=2x+\frac{200}{x}\Rightarrow \overline{P}=2+\frac{x\left(0\right)-200\left(1\right)}{x^2}\\ & \overline{P}=0\\ & 2-\frac{200}{x^2}=0]x^2\\ & 2x^2-200=0]÷2\\ & x^2=100 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر}\\ & x=10\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=\frac{100}{10}=10$

نعوض قيمة x وy في (1) لإيجاد المحيط

$\begin{array}{rl}& P=2\left(10\right)+2\left(10\right)\\ & p=20+20=40 \mathrm{متر}\end{array}$

3- من مستطيل محيطه $\left(120\right)cm$ قطعة مستطيلة على شكل نصف دائرة ينطبق قطرها على أحد الضلعين الصغيرين للمستطيل ما أبعاد ذلك المستطيل لكي تكون المساحة المتبقية بعد القطع أكبر ما يمكن؟

نفرض الطول = y، نفرض العرض = 2x

نفرض نصف قطر الدائرة = x

المساحة الكلية = مساحة المستطيل - مساحة نصف دائرة

$\begin{array}{l}A=2xy-\frac{1}{2}\pi x^2.......\left(1\right)\\ P=22x+y\Rightarrow 120-22x+y÷2\Rightarrow 2x+y=60\Rightarrow y=60-2x.....\left(2\right)\end{array}$

نعوض معادلة (2) في (1)

$\begin{array}{rl}& A=2x(60-2x)-\frac{1}{2}\pi x^2\\ & A=120x-4x^2-\frac{1}{2}\pi x^2\Rightarrow \overline{A}=120-8x-\pi x=0\Rightarrow -120\\ & -x(8+\pi )=-120\Rightarrow x=\frac{120}{8+\pi }\end{array}$

العرض 2x

$2\left(\frac{120}{8+\pi }\right)=\frac{2+0}{8+\pi }$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$y=60-2\left(\frac{120}{8+\pi }\right)=60-\frac{240}{8+\pi }\Rightarrow y=\frac{480+60\pi -240}{8+\pi }=\frac{240+60\pi }{8+\pi }\mathrm{cm}$

4- يراد صنع حوض على شكل متوازي مستطيلات بدون غطاء قاعدته مربعة الشكل وحجمه $\left(864\right)m^3$ أوجد أقل مساحة من الألواح يمكن أن تستخدم في صنعه؟

نفرض طول القاعدة = x

نفرض الارتفاع = h

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة، المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

$A=4xh+x^2.....\left(1\right)$

الحجم = الطول × العرض × الارتفاع

$V=x^{2}h\Rightarrow 864=x^{2}h\Rightarrow h=\frac{864}{x^2}.....\left(2\right)$

نعوض معادلة (2) في معادلة (1)

$\begin{array}{rl}& V=4x\left(\frac{864}{x^2}\right)+x^2\Rightarrow V=\frac{3456}{x}+x^2\\ & \overline{V}=\frac{-3456}{x^2}+2x=0]x^2\\ & -3456+2x^3=0]÷2\Rightarrow -1728+x^3=0\\ & \mathrm{التكعيبي} \mathrm{بالجذر} x^3=1728\Rightarrow x=12\mathrm{m}\end{array}$

نعوض قيمة x في معادلة (2)

$h=\frac{864}{144}=6$

نعوض قيمة x وh في معادلة (1) لإيجاد المساحة

$A=4\left(12\right)\left(6\right)+144=288+144=432m^2$