لكل من الدوال الآتية عين إن وجدت نقاط الانقلاب ومناطق النقص والتحدب:

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=x^3-3x\\ & \overline{\overline{f}}\left(x\right)=3x^2-3,\overline{\overline{f}}\left(x\right)=0\\ & 3x^2-3=0]÷3⟹x^2-1=0\\ & (x-1)(x+1)=0\\ & \mathrm{إما} x=1 \mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(1\right)=\frac{1}{4}(1{)}^4-\frac{3}{2}(1{)}^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=\frac{-5}{4}\\ & f(-1)=\frac{1}{4}(-1{)}^4-\frac{3}{2}(-1{)}^2=\frac{-5}{4}\end{array}$

نقاط الانقلاب هي $(1,\frac{-5}{4}),(-1,\frac{-5}{4})$

مناطق التقعر = $\{x:x<-1\},\{x:x>1\}$

مناطق التحدب = $\left(-1,1\right)$

تمارين (5-3)

1- لكل من الدوال الآتية عين إن وجدت نقاط الانقلاب ومناطق النقص والتحدب:

- $f\left(x\right)=2x^2-4x+5$

$\overline{f}\left(x\right)=4x-4\Rightarrow \overline{\overline{f}}\left(x\right)=4>0$

الدالة مقعرة ولا توجد نقاط انقلاب.

- $f\left(x\right)=3x-x^3$

$\begin{array}{c}\overline{f}\left(x\right)=3-3x^2\Rightarrow \overline{\overline{f}}\left(x\right)=-6x,\overline{\overline{f}}\left(x\right)=0\\ [-6x=0]÷-6\Rightarrow x=0\\ f\left(0\right)=y=3\left(0\right)-(0{)}^3=0\end{array}$

(0,0) نقطة الانقلاب

مناطق التحدب = $\{x:x>0\}$

مناطق التقعر = $\{x:x<0\}$

- $f\left(x\right)=x^3-3x^2$

$\begin{array}{c}\overline{f}\left(x\right)=3x^2-6x\Rightarrow \overline{\overline{f}}\left(x\right)=6x-6,\overline{\overline{f}}\left(x\right)=0\\ [6x-6=0]÷6\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\\ f\left(1\right)=y=(1{)}^3-3(1{)}^2=-2\end{array}$

النقطة (2-,1) نقطة الانقلاب

مناطق التحدب = $\{x:x<1\}$

مناطق التقعر = $\{x:x>1\}$

- $f\left(x\right)=x^5$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=5x^4\Rightarrow \overline{\overline{f}}\left(x\right)=20x^3\\ & 20x^3=0\Rightarrow x^3=0\Rightarrow x=0\\ & f\left(0\right)=(0{)}^5=0\end{array}$

النقطة (0,0) نقطة الانقلاب

مناطق التقعر = $\{x:x>0\}$

مناطق التحدب = $\{x:x<0\}$

- $f\left(x\right)=(x-2{)}^3+3$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3(x-2{)}^2\\ & \overline{\overline{f}}\left(x\right)=6(x-2)=0]÷6\\ & x-2=0\Rightarrow x=2\\ & f\left(2\right)=y=(2-2{)}^3+3=3\end{array}$

النقطة (2,3) نقطة الانقلاب

مناطق التقعر = $\{x:x>2\}$

مناطق التحدب = $\{x:x<2\}$

- $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=x^3-3x\\ & \overline{\overline{f}}\left(x\right)=3x^2-3,\overline{\overline{f}}\left(x\right)=0\\ & 3x^2-3=0]÷3⟹x^2-1=0\\ & (x-1)(x+1)=0\\ & \mathrm{إما} x=1 \mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(1\right)=\frac{1}{4}(1{)}^4-\frac{3}{2}(1{)}^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=\frac{-5}{4}\\ & f(-1)=\frac{1}{4}(-1{)}^4-\frac{3}{2}(-1{)}^2=\frac{-5}{4}\end{array}$

نقاط الانقلاب هي $(1,\frac{-5}{4}),(-1,\frac{-5}{4})$

مناطق التقعر = $\{x:x<-1\},\{x:x>1\}$

مناطق التحدب = $\left(-1,1\right)$

- $f\left(x\right)=x^3+3x^2+3x+1$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=3x^2+6x+3 \\ \begin{array}{rl}& 6x+6=0]÷6⟹x+1=0⟹x=-1\\ & f(-1)=(-1{)}^3+3(-1{)}^2+3(-1)+1=-1+3-3+1=0\end{array} \end{gathered}$$

نقطة الانقلاب هي (1,0-)

مناطق التقعر = $\{x:x>-1\}$

مناطق التحدب = $\{x:x<-1\}$