إذا علمت أن النقطة (2,1) هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة $f\left(x\right)=a+(x-b{)}^2$ فجد قيمة كل من $a,b\in R$ ؟

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=2(x-b),\overline{f}\left(x\right)=0,x=2\\ & 2(2-b)=0]÷2\Rightarrow 2-b=0\Rightarrow b=2\\ & \therefore f\left(x\right)=a+(x-2{)}^2 \mathrm{الدالة} \mathrm{في} \mathrm{النقطة} \mathrm{نعوض}\\ & \therefore =a+(2-2{)}^2\Rightarrow a=1\end{array}$

تمارين (4-3)

1- جد نقطة النهايات العظمى أو الصغرى المحلية لكل من الدوال الآتية:

- $f\left(x\right)=x^4-1$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=4x^3,\overline{f}\left(x\right)=0\\ & 4x^3=0\Rightarrow x^3=0\Rightarrow x=0\\ & f\left(0\right)=y=(0{)}^4-1=-1\end{array}$

النقطة (1-,0) نقطة حرجة

النقطة (1-,0) نهاية صغرى محلية

مناطق التناقص = $\{\mathrm{x}:\mathrm{x}<0\}$

مناطق التزايد = $\{x:x>0\}$

- $f\left(x\right)=x^3$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3x^2,\overline{f}\left(x\right)=0\\ & [3x^2=0]÷3\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0\\ & f\left(0\right)=(0{)}^3=0\end{array}$

النقطة (0,0) نقطة حرجة

مناطق التزايد = $\{x:x<0\}$

مناطق التناقص = $\{x:x>0\}$

- $f\left(x\right)=(x-1{)}^3$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3(x-1{)}^2,\overline{f}(x)=0\\ & \left[3\right(x-1{)}^2=0]÷3\Rightarrow (x-1{)}^2=0 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر}\\ & x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow f\left(1\right)=(1-1{)}^3=0\end{array}$

النقطة (1,0) مجرد نقطة حرجة

مناطق التزايد = $\{x:x<1\},\{x:x>1\}$

- $f\left(x\right)=x^3-9x^2+24x$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3x^2-18x+24,\overline{f}\left(x\right)=0\\ & 3x^2-18x+24=0]÷3\Rightarrow x^2-6x+8=0\Rightarrow (x-4)(x-2)=0\Rightarrow x=4,x=2\\ & f\left(4\right)=-(4{)}^3-9(4{)}^2+24\left(2\right)=64-144+96=160-144=16\\ & f\left(2\right)=(2{)}^3+9(2{)}^4+24\left(2\right)=8-36+48=56-36=20\\ & (4,16),(2,20) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array}$

مناطق التزايد = $\{x:x>4\},\{x:x<2\}$

مناطق التناقص = $(2,4)$

(2,20) نهاية عظمى محلية

(4,16) نهاية صغرى محلية

- $f\left(x\right)=x^4-2x^2-3$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=4x^3-4x,\overline{f}\left(x\right)=0 \\ \begin{array}{rl}& [4x^3-4x=0]÷4\Rightarrow x^3-x=0\Rightarrow x(x^2-1)=0\\ & \mathrm{إما} x=0 \mathrm{أو} (x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=1,x=-1\\ & f\left(0\right)=(0{)}^4-2(0{)}^2-3=-3\\ & f\left(1\right)=(1{)}^4-2(1{)}^2-3=-4\\ & f(-1)=(-1{)}^4-2(-1{)}^2-3=-4\\ & (0,-3),(1,-4),(-1,-4) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array} \end{gathered}$$

مناطق التزايد = $\{x:x>1\},(-1,0)$

مناطق التناقص = $\{x:x<-1\},(0,1)$

النقطة (4-,1-) نهاية صغرى محلية

(4-,1) نهاية صغرى محلية

(3-,0) نهاية عظمى محلية

- $f\left(x\right)=5+4x^3-x^4$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=12x^2-4x^3,\overline{f}\left(x\right)=0 \\ \begin{array}{rl}& [12x^2-4x^3=0]÷4\Rightarrow 3x^2-x^3=0\Rightarrow x^2(3-x)=0\\ & \mathrm{إما} x^2=0\Rightarrow x=0 \mathrm{أو} x=3\\ & f\left(0\right)=5+4(0{)}^3-(0{)}^4=5\\ & f\left(3\right)=5+4(3{)}^3+(3{)}^4=5+4\left(27\right)-81\\ & y=5+108+81=113-81=32\end{array} \end{gathered}$$

النقاط (5,0) مجرد نقطة حرجة

(3,32) نهاية عظمى محلية

مناطق التزايد = $\{x:x<0\},\left(0,3\right)$

مناطق التناقص = $\{x:x<3\}$

- $f\left(x\right)=3x^4+4x^3$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=12x^2+12x^2,\overline{f}\left(x\right)=0 \\ \begin{array}{rl}& 12x^3+12x^2=0]÷12\\ & x^3+x^2=0\Rightarrow x^2(x+1)=0\\ & \mathrm{إما} x^2=0\Rightarrow x=0 , \mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(0\right)=3(0{)}^4-(0{)}^3=0\\ & f(-1)=3(-1{)}^4+4(-1{)}^3=-1\\ & (0,0),(-1,-1) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array} \end{gathered}$$

(0,0) نقطة حرجة

(1-,1-) نهاية صغرى محلية

مناطق التزايد = $\{x:x<0\},\left(-1,0\right)$

مناطق التناقص = $\{x:x<-1\}$

2- إذا علمت أن النقطة (2,1) هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة $f\left(x\right)=a+(x-b{)}^2$ فجد قيمة كل من $a,b\in R$؟

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=2(x-b),\overline{f}\left(x\right)=0,x=2\\ & 2(2-b)=0]÷2\Rightarrow 2-b=0\Rightarrow b=2\\ & \therefore f\left(x\right)=a+(x-2{)}^2 \mathrm{الدالة} \mathrm{في} \mathrm{النقطة} \mathrm{نعوض}\\ & \therefore =a+(2-2{)}^2\Rightarrow a=1\end{array}$

3- إذا كانت النقطة (1,4) نقطة حرجة للدالة $f\left(x\right)=3+ax+b{x}^2$ فما قيمة $a,b\in R$؟ وما نوع النقطة الحرجة؟

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=a+2bx,\overline{f}\left(x\right)=0,x=1\\ & a+2b\left(1\right)=0\Rightarrow a+2b=0....\left(1\right)\end{array}$

نعوض النقطة (1,4) في الدالة

$\begin{array}{rl}& 4=3+a+b\Rightarrow a+b=1....\left(2\right)\\ & a+2b=0....\left(1\right)\end{array}$

من (1) و(2) نحصل على

$$\begin{gathered} -a\mp b=\pm -1 \mathrm{بالطرح} \\ \begin{array}{c}b=-1 \left(1 \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\\ a+2(-1)=0\Rightarrow a\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \therefore f\left(x\right)=3+2x-x^2\\ & \overline{f}\left(x\right)=2-2x\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=0\\ & 2-2x=0\Rightarrow x=1\end{array} \end{gathered}$$