جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f\left(x\right)=x^3(-4+x)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=-4x^3+x^4\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=-12x^3+4x^3 , \overline{f}\left(x\right)=0\\ & [-12x^2+4x^3=0]÷4\Rightarrow -3x^2+x^3=0\Rightarrow x^2(-3+x)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} x^2=0 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر} \Rightarrow x=0\\ & \mathrm{أو} x=3\end{array} \\ f\left(0\right)=-4(0{)}^3-(0{)}^4=0\Rightarrow f\left(3\right)=-4(3{)}^3+(3{)}^4=-4\left(27\right)+81=-108+81=-27 \\ (0,0),(3,-27) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط} \end{gathered}$$

مناطق التزايد = $\{x:x>3\}$

مناطق التناقص = $\{x:x<0\},\left(0,3\right)$

(0,0) مجرد نقطة حرجة

(27-,3) نهاية صغرى محلية

النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى

خطوات الحل:

• نجد المشتقة الأولى للدالة $\overline{f}\left(x\right)$

• مساواة المشتقة الأولى بالصفر $\overline{f}\left(x\right)$

• نستخرج قيم x ثم نعوض قيم x في الدالة الأصلية لإيجاد y فيتكون لدينا نقطة كاملة (x,y) تسمى نقطة حرجة.

• نضع قيم x المستخرجة على خط الأعداد ثم نعطي قيم أكبر وأصغر من x بحيث نختبر في المشتقة ثم نلاحظ:

أ- إذا كانت المشتقة $\overline{f}\left(x\right)>0$ (عدد موجب) فإنها منطقة تزايد ${\uparrow }_{++++++}$

ب- إذا كانت $\overline{f}\left(x\right)<0$ (عدد سالب) فإنها منطقة تناقص $\downarrow ------$

• النهايات (نلاحظ شكل الدالة)

أ- إذا كانت بهذا الشكل نهاية عظمى محلية

ب- إذا كانت بهذا الشكل نهاية صغرى محلية

ج- إذا كانت بهذا الشكل مجرد نقطة حرجة

1- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=x^2-4x+3$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=2x-4 \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=0\\ & 2x-4=0\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\\ & \overline{f}\left(2\right)=y=(2{)}^2-4(2)+3=4-8+3=-1\end{array} \end{gathered}$$

النقطة (1-,2) نقطة حرجة

مناطق التناقص = $\{x:x<2\}$

مناطق التزايد = $\{x:x>2\}$

2- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص $f\left(x\right)=x^3-3x+6$؟

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}\overline{f}\left(x\right)=3x^2-3 , \overline{f}\left(x\right)=0\\ [3x^2-3=0]÷3\Rightarrow x^2-1=0\end{array}\\ & \{3x^2-3=0]÷3\Rightarrow x^{2إ}-1=0\\ & (x-1)(x+1)=0 , \mathrm{إما} x=1 \mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(1\right)=(1{)}^3-3(1)+6=1-3+6=4\\ & f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+6=-1+3+6=8\\ & (1,4),(-1,8) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array}$

مناطق التزايد = $\{x:x<-1\},\{x:x>1\}$

مناطق التناقص = $(-1,1)$

3- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+7$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3x^2-6x-9 , \overline{f}\left(x\right)=0\\ & [3x^2-6x-9=0]÷3\Rightarrow x^2-2x-3=0\\ & (x-3)(x+1)=0\\ & \mathrm{إما} x=3 \mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(3\right)=(3{)}^3-3(3)+7=27-27-27+7=-20\\ & f(-1)=(-1{)}^3-9(-1)+7=-1-3+9+7=12\\ & (3,-20),(-1,12) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array}$

مناطق التناقص = $(-1,3)$

مناطق التزايد = $\{x:x<-1\},\{x:x>3\}$

4- جد النقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f\left(x\right)=x^4-2x^2+1$

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=4x^3-4x,\overline{f}\left(x\right)=0\\ & [4x^3-4x=0]÷4\Rightarrow x^3-x=0\Rightarrow x(x^2-1)=0\\ & \mathrm{إما} x=0 \mathrm{أو} (x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=1,x=-1\\ & f\left(0\right)=(0{)}^4-2(0{)}^2+1=1\Rightarrow f\left(1\right)=(-1{)}^4-2(-1{)}^2+1=0\\ & f(-1)=(-1{)}^4-2(-1{)}^2+1=0 , (0,1),(1,0),(-1,0) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array}$

مناطق التزايد = $\{x:x>1\},\left(-1,0\right)$

مناطق التناقص = $\{x:x<-1\}$

(1,0-), (1,0) نهاية صغرى محلية

(0,1) نهاية عظمى محلية

5- جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f\left(x\right)=x^3(-4+x)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(x\right)=-4x^3+x^4\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=-12x^3+4x^3 , \overline{f}\left(x\right)=0\\ & [-12x^2+4x^3=0]÷4\Rightarrow -3x^2+x^3=0\Rightarrow x^2(-3+x)=0\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{إما} x^2=0 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر} \Rightarrow x=0\\ & \mathrm{أو} x=3\end{array} \\ f\left(0\right)=-4(0{)}^3-(0{)}^4=0\Rightarrow f\left(3\right)=-4(3{)}^3+(3{)}^4=-4\left(27\right)+81=-108+81=-27 \\ (0,0),(3,-27) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط} \end{gathered}$$

مناطق التزايد = $\{x:x>3\}$

مناطق التناقص = $\{x:x<0\},\left(0,3\right)$

(0,0) مجرد نقطة حرجة

(27-,3) نهاية صغرى محلية

ملاحظة:

إيجاد الثوابت a,b إذا كانت صيغة السؤال أن للدالة نهاية محلية عند عدد = x فهنا عند الحل نتبع الخطوات التالية:

1. نجد المشتقة

2. مساواة المشتقة بالصفر ثم نعوضها قيمة x في المشتقة لنجد قيم المجهول

6- إذا كانت $f\left(x\right)=x^3+ax+5$ لها نقطة نهاية محلية عند 1=x جد قيمة a؟ وبين نوع النهاية؟

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3x^2+a \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=0,x=1\Rightarrow 3(1{)}^2+a=0\Rightarrow a=-3\\ & \therefore f\left(x\right)=x^3-3x+5\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=3x^2-3,\overline{f}\left(x\right)=0\\ & [3x^2-3=0]÷3\Rightarrow x^2-1=0\\ & (x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=1,x=-1\\ & f\left(1\right)=(1{)}^3-3(1)+5=3\\ & f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+5=7\\ & (1,3),(-1,7) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array} \end{gathered}$$

النقطة (1,3) نهاية صغرى محلية

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال أن الدالة تمتلك نقطة نهاية محلية (x,y) وكان المطلوب إيجاد الثوابت عنه الحل نتبع الخطوات التالية:

1. نجد المشتقة $\overline{f}\left(x\right)$

2. مساواة المشتقة بالصفر $\overline{f}\left(x\right)=0$ ثم نعوض من النقطة فقط قيمة x

3. نعوض النقطة كاملة في الدالة الأصلية فتبقى الثوابت مجهولة نستخرجها.

7- إذا كانت $f\left(x\right)=a{x}^3+bx$ وكانت تمتلك نهاية محلية عند النقطة (2-,1) فما قيمة $a,b,\in R$؟ وما نوع النهاية؟

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3a{x}^2+b\\ & \overline{f}\left(x\right)=0,x=1\\ & a(1{)}^2+b=0\Rightarrow 3a+b=0....\left(1\right)\end{array}$

النقطة (2-,1) تحقق الدالة الأصلية

$\begin{array}{rl}& 2=a(1{)}^3+b(1)\Rightarrow a+b=-2....\left(2\right)\\ & 3a+b=0....\left(1\right)\end{array}$

نحصل على (2) و(1) من

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \text{بالطرح }\text{-a}-a\mp b=\pm 2....\left(2\right)\\ & 2a=2\Rightarrow a=1\\ & 3\left(1\right)+b=0\Rightarrow b=-3 \left(1 \mathrm{في} a \mathrm{قيمة} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \therefore f\left(x\right)=x^3-3x\\ & \overline{f}\left(x\right)=3x^2-3=0]÷3 \Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow (x-1)(x+1)=0\\ & \mathrm{إما} x=1 \mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(1\right)=(1{)}^3-3(1)=-2\\ & f\left(1\right)=(-1{)}^3-3(-1)=2\\ & (1,-2),(-1,2) \mathrm{الحرجة} \mathrm{النقاط}\end{array} \end{gathered}$$

النقطة (2-,1) نهاية صغرى محلية

مناطق التزايد = $\{x:x>1\},\{x:x<-1\}$

مناطق التناقص = $(-1,1)$