جسم يتحرك على خط مستقيم بحيث أن بعده بالأمتار والزمن بالثواني معطى العلاقة $S\left(t\right)=\sqrt{2t^2+16}$ احسب بعده عندما تصبح السرعة 1 متر\ثا

$$\begin{gathered} S\left(t\right)=\sqrt{2t^2+18} \mathrm{البعد} \\ \begin{array}{rl}& \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)=\frac{4t}{2\sqrt{2t^2+18}}=\frac{2t}{\sqrt{2t^2+18}} \mathrm{السرعة}\\ & \because V\left(t\right)=1,\therefore \frac{2t}{\sqrt{2t^2+18}}=1\Rightarrow 2t\\ & =\sqrt{2t^2+18} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\\ & 4t^2=2t^2+18\Rightarrow 2t^2=18]÷2\\ & t^2=18 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر} \Rightarrow t=3\\ & \therefore S\left(3\right)=\sqrt{2(3{)}^2+18}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6 \mathrm{متر}\end{array} \end{gathered}$$

تمارين (3-3)

1- جد معادلة المماس للمنحني $f\left(x\right)=x^3-3x^2+9x+5$ عند x=0

$\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=y=(0{)}^3-3(0{)}^2+9\left(0\right)+5\\ & =5\\ & (0,5) \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة}\\ & \overline{f}\left(x\right)=3x^2-6x+9\\ & \overline{f}\left(0\right)=m=3(0{)}^2-6(0)+9=9\\ & y-y_1=m(x-x_1) \mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\\ & y-5=9(x-0)\Rightarrow y-5=9x\\ & 9x-y+5=0\end{array}$

2- جد معادلة كل من المماس والعمود على المماس للمنحني $y=(x-3{)}^3$ عند x=2

$\begin{array}{rl}& y=(2-3{)}^3=-1\\ & \left(2,-1\right) \mathrm{هي} \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة}\\ & \overline{y}=(x-3{)}^2\\ & \overline{y}=m=3(2-3{)}^2=3(1)=3 \mathrm{المماس} \mathrm{ميل}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y+1=3(x-2)\\ & y+1=3x-6\Rightarrow 3x-y-6-1=0\\ & 3x-y-7=0 \mathrm{المماس} \mathrm{معادلة}\\ & m=\frac{-1}{m}=-\frac{1}{3} \mathrm{العمود} \mathrm{ميل} \mathrm{نجد}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\\ & y+1=-\frac{1}{3}(x-2)\Rightarrow 3y+3=-x+2\\ & x+4y+3-2=0\\ & x+3y+1=0 \mathrm{المماس} \mathrm{على} \mathrm{العمود} \mathrm{معادلة}\end{array}$

3- جد معادلة المماس للمنحني $f\left(x\right)=x^3-2x+\frac{3}{x^2+2}$ عند x=-1

$\begin{array}{rl}& f(-1)=y=(-1{)}^3-2(-1)+\frac{3}{(-1{)}^2+2}\\ & y=-1+2+\frac{3}{3}=1+1=2\\ & \left(-1,2\right) \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة}\\ & \overline{f}\left(x\right)=3x^2-2+\frac{{(x^2+2)}^2\left(0\right)-3\left(2x\right)}{{(x^2+2)}^2}\Rightarrow \overline{f}\left(x\right)=3x^2-2+\frac{-6x}{{(x^2+2)}^2}\\ & \overline{f}(-1)=m=3(-1{)}^2-2+\frac{-6\left(1\right)}{{(x^2+2)}^2}=3-2+\frac{6}{9}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\\ & y-y_1=m(x-x_1)\Rightarrow y-2=\frac{5}{3}(x+1)\\ & 3y-6=5x+5\Rightarrow 5x-3y+5+6=0\Rightarrow 5x-3y+11=0\end{array}$

4- جد النقط على المنحني $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+4$ بحيث يكون عندها المماس موازياً لمحور السينات؟

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=3x^2-6x-9=0]÷3\\ & x^2-2x-3=0\\ & (x-3)(x+1)=0\Rightarrow \mathrm{إما} x=3,\mathrm{أو} x=-1\\ & f\left(3\right)=(3{)}^3-3(3{)}^2-9\left(3\right)+4=27-27-27+4=-23\\ & f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+4=-1-3+9+4=9\\ & (3,-23),(-1,9) \mathrm{هي} \mathrm{النقط}\end{array}$

5- جد نقطة على المنحني $f\left(x\right)=x^2-4x+5$ مماس المنحني يوازي المستقيم $2x-y=0$

$$\begin{gathered} \overline{f}\left(x\right)=m=\frac{x \mathrm{معامل}-}{y \mathrm{معامل}}=\frac{-2}{-1}=2 \\ \begin{array}{rl}& \overline{f}\left(x\right)=2x-4\Rightarrow 2x-4=2\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3\\ & f\left(3\right)=(3{)}^2-4(3)+5=9-12+5=2\\ & (3,2) \mathrm{النقط}\therefore \end{array} \end{gathered}$$

6- جسم يتحرك على خط مستقيم بحيث أن بعده بالأمتار والزمن بالثواني معطى العلاقة $S\left(t\right)=\sqrt{2t^2+16}$ احسب بعده عندما تصبح السرعة 1 متر\ثا

$$\begin{gathered} S\left(t\right)=\sqrt{2t^2+18} \mathrm{البعد} \\ \begin{array}{rl}& \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)=\frac{4t}{2\sqrt{2t^2+18}}=\frac{2t}{\sqrt{2t^2+18}} \mathrm{السرعة}\\ & \because V\left(t\right)=1,\therefore \frac{2t}{\sqrt{2t^2+18}}=1\Rightarrow 2t\\ & =\sqrt{2t^2+18} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\\ & 4t^2=2t^2+18\Rightarrow 2t^2=18]÷2\\ & t^2=18 \mathrm{التربيعي} \mathrm{بالجذر} \Rightarrow t=3\\ & \therefore S\left(3\right)=\sqrt{2(3{)}^2+18}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6 \mathrm{متر}\end{array} \end{gathered}$$

7- إذا تحرك جسم وفق العلاقة $S\left(t\right)=t^3-6t^2+9t+7$ حيث أن s بعده بالأمتار، t الزمن بالثواني احسب:

- بعد الجسم من نقطة بداية الحركة عندما تصبح سرعة صفراً؟

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}S\left(t\right)=t^3-6t^2+9t+7 \mathrm{البعد}\\ \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)=3t^2-12t+9 \mathrm{السرعة}\\ \overline{\overline{S}}\left(t\right)=a\left(t\right)=6t-12 \mathrm{التعجيل}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& V\left(t\right)=0\\ & [3t^2-12t+9=0]÷3\\ & t^2-4t+3=0\\ & (t-3)(t-1)=0\Rightarrow \mathrm{إما} t=3 \mathrm{أو} t=1\\ & S\left(3\right)=(3{)}^2-6(3{)}^2+9\left(3\right)+7=27-54+27+7=-27+27+7=7 \mathrm{متر}\\ & S\left(1\right)=(1{)}^3-6(1{)}^2+9\left(1\right)+7=1-6+9+7=11 \mathrm{متر}\end{array} \end{gathered}$$

- بعد الجسم من نقطة بداية الحركة عندما يصبح التعجيل صفراً؟

$\begin{array}{rl}& a\left(t\right)=0\\ & [6t-12=0]÷6\Rightarrow t-2=0\Rightarrow t=2\\ & S\left(2\right)=(2{)}^3-6(2{)}^2+9\left(2\right)+7=8-24+18+7=-16+18+7=2+7=9 \mathrm{متر}\end{array}$

8- لنفرض أن الكلفة الكلية لصنع x من وحدات سلعة ما هي $C\left(x\right)=1500+30x+\frac{20}{x}$ جد الكلفة الحدية عندما يكون عدد الوحدات المصنوعة 50

$\begin{array}{rl}& \overline{C}\left(x\right)=30-\frac{20}{x^2}\\ & \because x=50\Rightarrow \overline{C}\left(50\right)=30-\frac{20}{(50{)}^2}\\ & \overline{C}\left(50\right)=30-\frac{20}{2500}\Rightarrow \overline{C}\left(50\right)=30-\frac{1}{125}=\frac{3750-1}{125}=\frac{3749}{125}\end{array}$

9- لتكن دالة الكلفة الكلية $C\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-2x+5$ جد دالة الكلفة الحدية

$\begin{array}{rl}& \overline{C}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(2x\right)-2=x-2\\ & AC=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{\frac{1}{2}{x}^2-2x+5}{x}=\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x}-\frac{2x}{x}+\frac{5}{x}\\ & AC=\frac{1}{2}x-2+\frac{1}{x}x-2+5x^{-1}\end{array}$