لنفرض أن دالة الكلفة الكلية لإنتاج سلعة ما هي $C\left(x\right)=3x^2-60x+1200$ جد: حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة الكلية؟

لإيجاد حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة نحصل $A\overline{C}=0$

$\begin{array}{rl}& 3-\frac{1200}{x^2}=0]x^2\\ & \Rightarrow 3x^2-1200=0]÷3\Rightarrow x^2-400=0\\ & x^2=400\Rightarrow x=20\\ & C\left(20\right)=3(20{)}^2-60(20)+1200 \\ & =1200-1200+1200=1200 \mathrm{الكلية} \mathrm{الكلفة}\end{array}$

التطبيق الاقتصادي للمشتقة

1. دالة الكلفة الكلية$C\left(x\right)$ (الدالة الأصلية).

2. دالة الكلفة الحدية $\overline{C}\left(x\right)$ مشتقة الأصلية.

3. دالة عدل الكلفة الكلية $AC$ حيث $AC=\frac{C\left(x\right)}{x}$

4. دالة معدل الكلفة الحدية - مشتقة معدل الكلفة $A\overline{C}$

1- لنفرض أن دالة الكلفة الكلية لإنتاج سلعة ما هي $C\left(x\right)=3x^2-60x+1200$ جد:

- دالة الكلفة الحدية؟

$\overline{C}\left(x\right)=6x-60$

- دالة معدل الكلفة؟

$AC=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{3x^2-60x+120}{x}=\frac{3x^2}{x}=\frac{60x}{x}=\frac{120}{x}$

- دالة معدل الكلمة الحدية؟

$\begin{array}{c}AC=3x-60+\frac{1200}{x}\\ 3\left(A\overline{C}\right)=3-\frac{1200}{x}\end{array}$

- حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة الكلية؟

لإيجاد حجم الإنتاج الذي يعطي أقل معدل كلفة نحصل $A\overline{C}=0$

$\begin{array}{rl}& 3-\frac{1200}{x^2}=0]x^2\\ & \Rightarrow 3x^2-1200=0]÷3\Rightarrow x^2-400=0\\ & x^2=400\Rightarrow x=20\\ & C\left(20\right)=3(20{)}^2-60(20)+1200 \\ & =1200-1200+1200=1200 \mathrm{الكلية} \mathrm{الكلفة}\end{array}$