يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العلاقة $S\left(t\right)=t^2-20t+120$ حيث يقاس البعد بالكيلو مترات والزمن بالساعة أحسب: بعده عندما تصبح سرعته صفراً؟

$\begin{array}{rl}& V\left(t\right)=0\\ & 2t-20=0]÷2\Rightarrow t-10=0\Rightarrow t=10\\ & \begin{array}{rl}S\left(10\right)& =(10{)}^2-20(10)+120\\ & =100-200+120=20 \mathrm{كم}\end{array}\end{array}$

التطبيقات الفيزياوية

1. الإزاحة (البعد أو الموضع) ويرمز له بالرمز $s\left(t\right)$ وتقاس (وحدة مسافة)
2. السرعة ويرمز لها بالرمز $V\left(t\right)$ وتقاس = $\frac{\mathrm{مسافة} \mathrm{وحدة}}{\mathrm{زمن} \mathrm{وحدة}}$
3. التعجيل ويرمز له بالرمز $a\left(t\right)$ ويقاس = $\frac{\mathrm{مسافة} \mathrm{وحدة}}{{\left(\mathrm{زمن} \mathrm{وحدة}\right)}^2}$
4. الزمن ويرمز له بالرمز t

$S\left(t\right)\stackrel{\mathrm{مشتقة}}{⟶}V\left(t\right)\stackrel{\mathrm{مشتقة}}{⟶}a\left(t\right)$

أي أن:

$\begin{array}{rl}\mathrm{مشتقة} \overline{S}\left(t\right)& =V\left(t\right)\\ \mathrm{مشتقة} V^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)& =a\left(t\right)\end{array}$

1- جسم يتحرك على خط مستقيم وفق العلاقة $S\left(t\right)=t^3+3t^2+4t+1$ حيث (S(t تقاس بالأمتار والزمن بالدقائق جد موضعه وسرعة تعجيله بعد (5) دقائق من بدء حرکته؟

$\begin{array}{rl}& S\left(t\right)=t^3+3t^2+4t+1 \mathrm{الموضع}\\ & \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)+3t^2+6t+4 \mathrm{السرعة}\\ & \overline{\overline{S}}\left(t\right)=a\left(t\right)=6t+6 \mathrm{التعجيل}\\ & S\left(5\right)=(5{)}^3+3(5{)}^2+4\left(5\right)+1\\ & =125+75+20+1=221/m\\ & V\left(5\right)=3(5{)}^2+6(5)+4\\ & =3\left(25\right)+30+4\\ & =75+30+4=109\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & a\left(5\right)=6\left(5\right)+6=30+6=36\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

2- يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العلاقة $S\left(t\right)=t^2-20t+120$ حيث يقاس البعد بالكيلو مترات والزمن بالساعة أحسب:

- السرعة بعد خمس ساعات؟

$\begin{array}{rl}S\left(t\right)& =t^2-20t^2+120 \mathrm{البعد}\\ \overline{S}\left(t\right)& =V\left(t\right)=2t-20 \mathrm{السرعة}\\ V\left(5\right)& =2\left(5\right)-20=10-20=-10 \mathrm{ساعة}\backslash \mathrm{كم}\end{array}$

- بعده عندما تصبح سرعته صفراً؟

$\begin{array}{rl}& V\left(t\right)=0\\ & 2t-20=0]÷2\Rightarrow t-10=0\Rightarrow t=10\\ & \begin{array}{rl}S\left(10\right)& =(10{)}^2-20(10)+120\\ & =100-200+120=20 \mathrm{كم}\end{array}\end{array}$

3- يتحرك جسم على خط مستقيم وحسب العلاقة $S\left(t\right)=\sqrt{2t+1}$ أوجد الزمن الذي يستغرقه حتى تصبح سرعة $\mathrm{ثا}\backslash م \frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}& S\left(t\right)=\sqrt{2t+1} \mathrm{البعد}\\ & \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)=\frac{2}{2\sqrt{2t+1}}=\frac{1}{\sqrt{2t+1}} \mathrm{السرعة}\\ & V\left(t\right)=\frac{1}{3}\\ & \therefore \frac{1}{3}=\frac{1}{\sqrt{2t+1}}\Rightarrow \sqrt{2t+1}=3 \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\\ & 2t+1=9\Rightarrow 2t=8÷2\\ & t=4 \mathrm{ثا}\end{array}$

4- قذف جسم نحو الأعلى عن سطح الأرض بإزاحة معطاة وفق العلاقة $S\left(t\right)=96t-16t^2$ حيث S(t) الإزاحة بالأمتار t الزمن بالثواني احسب:

- سرعة الجسم بعد ثانيتين؟

$\begin{array}{c}S\left(t\right)=96t-16t^2 \mathrm{الإزاحة}\\ \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)=96-32t \mathrm{السرعة}\\ V\left(2\right)=96-32\left(2\right)=96-64=32 \mathrm{متر}\end{array}$

- متى تصبح سرعة صفراً؟

$\begin{array}{rl}V\left(t\right)& =0\Rightarrow 96-32t=0]÷32\\ & =3-t=0\Rightarrow t=3\end{array}$

5- إذا تحرك جسم وفق العلاقة $S\left(t\right)=t^3-6t^2+18t+12$حيث S(t) بالأمتار t الزمن بالثانية، احسب بعد الجسم عن نقطة بداية الحركة وسرعة عندما يصبح تعجيله صفراً؟

$\begin{array}{rl}& S\left(t\right)=t^3-6t^2+18t+12 \mathrm{الموضع}\\ & \overline{S}\left(t\right)=V\left(t\right)=3t^2-12t+18 \mathrm{السرعة}\\ & \overline{\overline{S}}\left(t\right)=a\left(t\right)=6t-12 \mathrm{التعجيل}\\ & a\left(t\right)=0\Rightarrow 6t-12=0]÷6\\ & t-2=0\Rightarrow t=2\\ & S\left(2\right)=(2{)}^3-6(2{)}^2+18\left(2\right)+12\\ & =8-24+36+12\\ & =-16+36+12=32 \mathrm{متر}\\ & V\left(2\right)=3(2{)}^2-12(2)+18\\ & =12-24+18\\ & =-12+18\\ & =6 \mathrm{ثا}\backslash م\end{array}$