لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1-x,x\le 2\\ x+1,x>2\end{array}$ هل للدالة غاية عند 2؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}x+1=2+1=3=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}1-x=1-2=-1=L_2\\ & \therefore L_1\ne L_2\end{array}$

لا توجد غاية عند x=4

غاية الدالة الشرطية (ذات القسمين)

خطوات الحل:

1. نجد الغاية من جهة اليمين وهي التي تحتوي على علامة (<) أكبر ونرمز لها بالرمز (L₁).

2. نجد الغاية من جهة اليسار وهي التي تحتوي على علامة (>) أصغر ونرمز لها بالرمز (L₂).

3. إذا كانت ${\mathrm{L}}_1={\mathrm{L}}_2$₂ فإن الغاية موجودة عند $x\to a$

4. إذا كانت ${\mathrm{L}}_1\ne {\mathrm{L}}_2$ فإن الغاية غير موجودة عند $x\to a$

1- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x\ge 1\\ 2x,x<1\end{array}$ هل للدالة غاية عند $x\to 1$؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 1}{x}^2+1=(1{)}^2+1=2=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 1}2x+1=2\left(1\right)=2=L_2\\ & \therefore L_1=L_2\end{array}$

الغاية موجودة $x\to 1$

2- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1-x,x\le 2\\ x+1,x>2\end{array}$ هل للدالة غاية عند 2؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}x+1=2+1=3=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 2}1-x=1-2=-1=L_2\\ & \therefore L_1\ne L_2\end{array}$

لا توجد غاية عند x=4

3- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+a,x>1\\ b-2x,x\le 1\end{array}$ وأن ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}f\left(x\right)$ موجودة وأن ${\mathrm{Lim}}_{x\to -1}f\left(x\right)=5$ جد a,b؟

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to -1}b-2x=5\Rightarrow b-2(-1)=5\Rightarrow b+2=5\Rightarrow b=3\\ & \because L_1=L_2\\ & \therefore {\mathrm{Lim}}_{x\to 1}{x}^2+a={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}3-2x=(1{)}^2+a=3-2(1)\Rightarrow 1+a=1\Rightarrow a=0\end{array}$

ملاحظة:

إذا كان العدد المراد إيجاد غاية لا يشبه الحد الفاصل فهنا نجد الغاية من طرف واحد فقط كما في المثال الآتي.

4- إذا كانت $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2-1,x\ge 3\\ 5+x,x<3\end{array}$

- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 5}f\left(x\right)$

لاحظ أن العدد (5) لا يشبه الحد الفاصل وهو (3) أي نجد الغاية من طرف واحد وهو

${\mathrm{Lim}}_{x\to 5}{x}^2-1=(5{)}^2-1=25-1=24$

- جد ${\mathrm{Lim}}_{x\to 3}f\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}{x}^2-1=(3{)}^2-1=9-1=8=L_1\\ & {\mathrm{Lim}}_{x\to 3}5+x=5+3=8=L_2\\ & \therefore L_1=L_2\end{array}$

الغاية موجودة عند x=3

5- لتكن $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2,x\le 1\\ 2x+a,x>1\end{array}$ وأن ${\mathrm{Lim}}_{x\to 1}f\left(x\right)$ موجودة جد قيمة a؟

ملاحظة:

الغاية موجودة تعني $L_1=L_2$

$\begin{array}{rl}& \therefore L_1=L_2\\ & \therefore {\mathrm{Lim}}_{x\to 1}2x+a={\mathrm{Lim}}_{x\to 1}{x}^2+2\\ & =2\left(1\right)+a=(1{)}^2+2\\ & 2+a=3\\ & a=3-2\\ & a=1\end{array}$