صندوق يحتوي على (4) كرات حمراء، (8) كرات بيضاء سحيت ثلاث كرات معاً جد عدد طرق سحب: على الأقل اثنتان حمراء؟

$\begin{array}{rl}& C_2^4\times C_1^8+C_3^4\times C_0^8\\ & =\frac{4\times 3}{2\times 1}\times 8+4\times 1\\ & =6\times 8+4=48+4=52 \mathrm{طريقة}\end{array}$

تمارين (3-1)

1- جد قيمة كلاً مما يأتي:

- $c_5^{11}$

$c_5^{11}=\frac{11\times 10\times 9\times 8\times 7}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=11\times 2\times 3\times 7=462$

- $C(8,18)$

$C(8,18)=1$

- $\left(\begin{array}{l}7\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{l}7\\ 0\end{array}\right)=1$

- $\frac{1}{210}[P_3^7+P_4^7]$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{210}[P_3^7+P_4^7]\\ & =\frac{1}{210}[7\times 6\times 5+7\times 6\times 4]\\ & =\frac{1}{210}[210+210\times 4]=1+4=5\end{array}$

2- جد قيمة n إذا كان: $C_{20}^n=C_{35}^n$

$\begin{array}{rl}& C_r^n=C_{n-r}^n⟹C_{20}^n=C_{n-35}^n\\ & 20=n-35\Rightarrow n=55\end{array}$

3- أي العبارات الآتية صائبة وأي منها خاطئة:

- $C_6^{16}=C_4^{10}$

خاطئة

- $C_{23}^{25}=\frac{p_2^{25}}{2!}$

صائبة لأن $C_{23}^{25}=C_2^{25}$

- إذا كان $\left(\begin{array}{l}n\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ 6\end{array}\right)$ فإن 10=n

صائبة

- عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي على ثلاثة عناصر التي يمكن تكوينها من مجموعة عدد عناصرها عشرة هو $C_3^{10}$

صائبة

- سبعة أشخاص ليسوا متمايزين يكون عدد طرق اختيار ثلاثة منهم هو $P_3^7$

خاطئة

- عدد طرق اختيار شخصين من بين ستة أشخاص دون مراعاة الترتيب عند الاختيار = 15 طريقة.

صائبة لأن $C_2^6=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$

- $P_0^3-2\lfloor 0=-1$

صائبة

- لكل $n,r\in N$ إذا كان $P_r^5=p_n^5$ فإن n=r

صائبة

4- اختر الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

- عدد طرق اختيار لجنة ثلاثية من بين (10) أشخاص يساوي:

$C_3^{10}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120 \mathrm{طريقة}$

- إذا كان (n) عدد المجموعات الجزئية الثنائية التي يمكن تكوينها من مجموعة عدد عناصرها (6) فإن n يساوي؟

$C_2^6=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$

- عدد القطع المستقيمة التي يمكن أن تصل بين رأسين من رؤوس مضلع سداسي يساوي:

$C_2^6=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$

- $\left(\begin{array}{c}68\\ 8\end{array}\right)÷C_{60}^{68}$

$\left(\begin{array}{c}68\\ 8\end{array}\right)÷\left(\begin{array}{c}68\\ 60\end{array}\right)=1$

- إذا كان لدينا الأرقام 1,2,3,4,5,6,7,8,9 فإن عدد الأعداد المكونة رمزها من أربعة أرقام مختلفة هو:

${\mathrm{P}}_4^9$

5- يراد تشكيل لجنة من ستة أعضاء من بين (5) طلاب، (8) مدرسين فبكم طريقة يمكن أن تكون اللجنة محتوية على مدرسين اثنين فقط.

5 طلاب و8 مدرسين

$\begin{array}{rl}& =C_2^8\times C_4^5=\frac{8\times 7}{2\times 1}\times 5=28\times 5\\ & =140 \mathrm{طريقة}\end{array}$

6- صندوق يحتوي على (4) كرات حمراء، (8) كرات بيضاء سحيت ثلاث كرات معاً جد عدد طرق سحب:

- اثنان حمراء وواحدة بيضاء؟

$\begin{array}{rl}{C}_2^4\times C_1^8& =\frac{4\times 3}{2\times 1}\times 8\\ & =6\times 8=48 \mathrm{طريقة}\end{array}$

- على الأقل اثنتان حمراء؟

$\begin{array}{rl}& C_2^4\times C_1^8+C_3^4\times C_0^8\\ & =\frac{4\times 3}{2\times 1}\times 8+4\times 1\\ & =6\times 8+4=48+4=52 \mathrm{طريقة}\end{array}$

7- إذا كان عدد أسئلة امتحان مادة ما هو (10) أسئلة وكان المطلوب حل (7) أسئلة منها على أن تختار (4) من الخمسة الأولى فبكم طريقة يمكن الإجابة؟

$C_4^5\times C_3^5=5\times \frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=5\times 10=50 \mathrm{طريقة}$