حلول الأسئلة

السؤال

أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

الحل

$\begin{aligned} C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n} ⟹ C_{3}^{70} = C_{70 - 3}^{70} \\ ∴ C_{3}^{70} = C_{67}^{70} \end{aligned}$

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

التوافيق

هو سحب كمية صغيرة r من كمية كبيرة n بدون ترتيب.

قانون التوافيق:

$C (n, r) = C_{r}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ r \end{array}) = \frac{P_{r}^{n}}{r!}$

ملاحظات:

نستخدم قانون التوافيق في الحالات التالية:

1. الأسئلة الامتحانية في حالة دون مراعاة الترتيب.

2. الأشكال الهندسية:

قطعة المستقيم 2=r
المربع والمستطيل r=4
الشكل السداسي 6=r

3. سحب عينة بدون ارجاع وبدون ترتيب.

4. تطبيقات المتباينة الانتقال من مجموعة صغيرة إلى مجموعة أخرى كبيرة.

5. مسائل اللجان في حالة عدم مراعاة الترتيب.

6. كل مسألة في الترتيب غير مهم فهي توافيق

7. $C_{n}^{n} = 1$

8. $C_{1}^{n} = n$

9. $C_{0}^{n} = 1$

10. $C_{r}^{n} = n$

إذا كانت n تزيد عن r بمقدار واحد مثل $C_{4}^{5} = 5$

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- $C_{2}^{10}$

$C_{2}^{10} = \frac{P_{2}^{10}}{2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

- $C_{3}^{6}$

$C_{3}^{6} = \frac{P_{3}^{6}}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

- $C_{2}^{5}$

$C_{2}^{5} = \frac{P_{2}^{5}}{2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

2- كم قطعة مستقيم يمكن تحديدها بمجموعة من النقاط عددها (10) لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة؟

$\begin{aligned} n = 10, r = 2 \\ C_{2}^{10} = \frac{P_{2}^{10}}{2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 قطعة \end{aligned}$

3- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على خمسة أسئلة من بين سبعة أسئلة؟

$\begin{aligned} n & = 7, r = 5 \\ C_{5}^{7} & = \frac{P_{5}^{7}}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 21 طريقة \end{aligned}$

4- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على ستة أسئلة من بين ثمانية أسئلة على أن يكون سؤالين من الزوجية الترتيب؟

4 فردي و4 زوجي

$C_{2}^{4} \times C_{4}^{4} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 6$

5- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من (5) طالبات و(7) طلاب من بين مجموعة مكونة من (8) طالبات، (10) طلاب.

10 طلاب و8 طالبات

$\begin{aligned} C_{7}^{10} \times C_{5}^{8} & = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ = 120 \times 56 = 6720 طريقة \end{aligned}$

6- صندوق يحتوي على (6) كرات حمراء (4) كرات بيضاء يراد سحب (5) كرات بشرط أن تكون (3) كرات حمراء فقط بكم طريقة يمكن إجراء السحب.

6 حمراء و4 بيضاء

$\begin{aligned} C_{3}^{6} \times C_{2}^{4} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} & = 20 \times 6 \\ = 120 طريقة \end{aligned}$

7- مجموعة A تضم 8 لاعبين ومجموعة B تضم 6 لاعبين بكم طريقة يمكن اختيار فريق واحد يضم 3 لاعبين من مجموعة A ولاعبين اثنين من مجموعة B؟

$\begin{aligned} 6 = B & 98 = A \\ C_{3}^{8} \times C_{2}^{6} & = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 56 \times 15 \\ = 840 طريقة \end{aligned}$

8- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونه من (3) موظفين وموظفتين من بين (8) موظفين وخمسة موظفات؟

8 موظفين و5 موظفات

$\begin{aligned} C_{3}^{8} \times C_{2}^{5} & = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \\ = 56 \times 10 = 560 طريقة \end{aligned}$

9- عدد الطلاب المتفوقين في إحدى المدارس لهذا العام (10) طلاب يراد اختيار (6) منهم ليمثلوا إحدى اللجان في المدرسة ما عدد الطرق الاختيار الممكنة؟

$\begin{aligned} C_{6}^{10} & = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ = 210 طريقة \end{aligned}$

10- صندوق يحتوي على (10) مصابيح (4) منها عاطلة يراد سحب ثلاث مصابيح بشرط أن يكون واحد منها عاطل بكم طريقة يمكن إجراء السحب؟

6 صالحة و4 عاطلة

$C_{2}^{6} \times C_{1}^{4} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 60 طريقة$

11- ما عدد الطرق التي تكون فيها لجنة من (4) أشخاص من بين (10) رجال، (6) نساء على أن تكون اللجنة:

- من جنس واحد.

كل من جنس واحد العملية جمع توافيق أي أن اللجنة إما جميع رجال أو جميع نساء 10 رجال أو 6 نساء

$C_{4}^{10} + C_{4}^{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 + 15 = 225 طريقة$

- اللجنة تحتوي على الأقل على رجل واحد.

كلمة على الأقل تعني تأخذ التوافيق تصاعدياً

$\begin{aligned} C_{1}^{10} \times C_{3}^{6} + C_{2}^{10} \times C_{2}^{6} + C_{3}^{10} \times C_{1}^{6} + C_{4}^{10} \times C_{0}^{6} \\ = 10 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} + \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} + \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times 6 + \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 21 \times} \times 1 \\ = 10 \times 20 + 45 \times 15 + 120 \times 6 + 210 \times 1 = 200 + 675 + 720 + 210 = 1805 طريقة \end{aligned}$

- اللجنة تحتوي على الأكثر على رجلين اثنين.

كلمة على الأكثر تعني نأخذ التوافيق تنازلياً

$\begin{aligned} C_{2}^{10} \times C_{2}^{6} + C_{1}^{10} \times C_{3}^{6} + C_{0}^{10} \times C_{4}^{6} \\ \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} + 10 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} + 1 \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 45 \times 15 + 10 \times 20 + 155 \\ 675 + 200 + 15 = 890 طريقة \end{aligned}$

- استبعاد إحدى النساء من اللجنة وتحتوي على ثلاث نساء فقط.

استبعاد إحدى النساء من اللجنة أي يصبح عدد النساء الكلي 5 وتحتوي على ثلاث نساء

$C_{3}^{5} \times C_{1}^{10} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 10 = 10 \times 10 = 100 طريقة$

- استبعاد أحد الرجال من اللجنة وتحتوي على رجلين فقط.

استبعاد أحد الرجال من اللجنة أي يصبح عدد الرجال الكلي 9 وتحتوي على رجلين فقط

$C_{2}^{9} \times C_{2}^{6} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 36 \times 15 = 540 طريقة$

12- جد قيمة n لكل مما يأتي:

- $2 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix})$

$\begin{aligned} 2 \frac{P_{2}^{n}}{2!} & = \frac{P_{3}^{n + 1}}{3!} ⟹ 2 \frac{n (n - 1)}{2 \times 1} = \frac{(n + 1) n (n - 1)}{3 \times 2 \times 1} \\ 1 & = \frac{n + 1}{6} ⟹ n + 1 = 6 ⟹ n = 5 \end{aligned}$

- $C_{4}^{n} = 3 P_{2}^{n}$

$\begin{aligned} \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times n (n - 1) \\ \frac{(n - 2) (n - 3)}{24} = 2 ⟹ \frac{n^{2} - 3 n - 2 n + 6}{24} = 2 \\ n^{2} - 5 n + 6 = 72 \Rightarrow n^{2} - 5 n + 6 - 72 = 0 \\ n^{2} - 5 n - 66 = 0 \\ (n - 11) (n + 6) = 0 \\ either n - 11 = 0 ⟹ n = 11 \\ or n + 6 = 0 \Rightarrow n = - 6 تهمل \end{aligned}$

- $C_{3}^{n} = 2 n - 4$

$\begin{aligned} \frac{p_{3}^{n}}{3!} = 2 (n - 2) \\ \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} = 2 (n - 2) \Rightarrow \frac{n (n - 1)}{6} = 2 \end{aligned} \begin{aligned} n^{2} - n = 12 ⟹ (n - 4) (n + 3) = 0 \\ either n - 4 = 0 ⟹ n = 4 \\ or n = - 3 تهمل \end{aligned}$

- $12 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

$\begin{aligned} 12 \frac{P_{3}^{n}}{3!} = \frac{P_{4}^{n + 1}}{4!} \\ 12 \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ \frac{12}{6} = \frac{n + 1}{24} ⟹ \frac{n + 1}{24} = 2 \\ n + 1 = 48 \Rightarrow n = 47 \end{aligned}$

- $2 P_{2}^{n} = C_{3}^{n + 1}$

$2 \times n (n - 1) = \frac{(n + 1) n (n - 1)}{3 \times 2 \times 1} ⟹ 2 = \frac{n + 1}{6} ⟹ n + 1 = 12 ⟹ n = 11$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}) = 14 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array})$

$\begin{aligned} 3 \frac{n (n - 1) (n - 2) (n - 3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14 \frac{n (n - 1)}{2 \times 1} ⟹ \frac{n^{2} - 3 n - 2 n + 6}{8} = 7 \\ n^{2} - 5 n + 6 = 56 ⟹ n^{2} - 5 n + 6 - 56 = 0 ⟹ n^{2} - 5 n - 50 = 0 ⟹ (n - 10) (n + 5) = 0 \\ either n - 10 = 0 ⟹ n = 10, or n + 5 = 0 ⟹ n = - 5 تهمل \end{aligned}$

- $2 C_{2}^{n + 1} = C_{3}^{n + 2}$

$2 \frac{(n + 1) n}{2 \times 1} = \frac{(n + 2) (n + 1) n}{3 \times 2 \times 1} ⟹ 1 = \frac{n + 2}{6} ⟹ n + 2 = 6 \Rightarrow n = 4$

- $6 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

$6 \times \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \Rightarrow 1 = \frac{n + 1}{24} ⟹ n + 1 = 24 ⟹ n = 23$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

$3 \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \Rightarrow 1 = \frac{n + 1}{12} ⟹ n + 1 = 12 ⟹ n = 11$

- $C_{2}^{n} = 55$

$\begin{aligned} \frac{n (n - 1)}{2 \times 1} = 55 ⟹ n (n - 1) = 110 ⟹ n^{2} - n - 110 = 0 \Rightarrow (n - 11) (n + 10) = 0 \\ either n - 11 = 0 ⟹ n = 11, or n + 10 = 0 \Rightarrow n = - 10 تهمل \end{aligned}$

- $(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = 10$

$\begin{aligned} \frac{n (n - 1)}{2 \times 1} = 10 ⟹ n^{2} - n = 20 \Rightarrow n^{2} - n - 20 = 0 \Rightarrow (n - 5) (n + 4) = 0 \\ either n - 5 = 0 \Rightarrow n = 5, or n + 4 = 0 \Rightarrow n = - 4 تهمل \end{aligned}$

ملاحظة:

$C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n}$ نستخدم هذه العلاقة لإيجاد قيمة n وكذلك عندما تكون الأعداد كبيرة.

13- جد قيمة n إذا كان:

- $(\begin{matrix} n \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ 35 \end{matrix})$

$C_{20}^{n} = C_{n - 35}^{n} ⟹ 20 = n - 35 \Rightarrow n = 55$

- $(\begin{matrix} 100 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 100 \\ n \end{matrix})$

$\begin{aligned} C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n} ⟹ C_{30}^{100} = C_{100 - n}^{100} \\ 30 = 100 - n \\ n = 100 - 30 ⟹ n = 70 \end{aligned}$

14- أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

$\begin{aligned} C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n} ⟹ C_{3}^{70} = C_{70 - 3}^{70} \\ ∴ C_{3}^{70} = C_{67}^{70} \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

الحل

$\begin{aligned} C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n} ⟹ C_{3}^{70} = C_{70 - 3}^{70} \\ ∴ C_{3}^{70} = C_{67}^{70} \end{aligned}$

التوافيق

هو سحب كمية صغيرة r من كمية كبيرة n بدون ترتيب.

قانون التوافيق:

$C (n, r) = C_{r}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ r \end{array}) = \frac{P_{r}^{n}}{r!}$

ملاحظات:

نستخدم قانون التوافيق في الحالات التالية:

1. الأسئلة الامتحانية في حالة دون مراعاة الترتيب.

2. الأشكال الهندسية:

قطعة المستقيم 2=r
المربع والمستطيل r=4
الشكل السداسي 6=r

3. سحب عينة بدون ارجاع وبدون ترتيب.

4. تطبيقات المتباينة الانتقال من مجموعة صغيرة إلى مجموعة أخرى كبيرة.

5. مسائل اللجان في حالة عدم مراعاة الترتيب.

6. كل مسألة في الترتيب غير مهم فهي توافيق

7. $C_{n}^{n} = 1$

8. $C_{1}^{n} = n$

9. $C_{0}^{n} = 1$

10. $C_{r}^{n} = n$

إذا كانت n تزيد عن r بمقدار واحد مثل $C_{4}^{5} = 5$

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- $C_{2}^{10}$

$C_{2}^{10} = \frac{P_{2}^{10}}{2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

- $C_{3}^{6}$

$C_{3}^{6} = \frac{P_{3}^{6}}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

- $C_{2}^{5}$

$C_{2}^{5} = \frac{P_{2}^{5}}{2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

2- كم قطعة مستقيم يمكن تحديدها بمجموعة من النقاط عددها (10) لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة؟

$\begin{aligned} n = 10, r = 2 \\ C_{2}^{10} = \frac{P_{2}^{10}}{2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 قطعة \end{aligned}$

3- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على خمسة أسئلة من بين سبعة أسئلة؟

$\begin{aligned} n & = 7, r = 5 \\ C_{5}^{7} & = \frac{P_{5}^{7}}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 21 طريقة \end{aligned}$

4- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على ستة أسئلة من بين ثمانية أسئلة على أن يكون سؤالين من الزوجية الترتيب؟

4 فردي و4 زوجي

$C_{2}^{4} \times C_{4}^{4} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 6$

5- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من (5) طالبات و(7) طلاب من بين مجموعة مكونة من (8) طالبات، (10) طلاب.

10 طلاب و8 طالبات

6- صندوق يحتوي على (6) كرات حمراء (4) كرات بيضاء يراد سحب (5) كرات بشرط أن تكون (3) كرات حمراء فقط بكم طريقة يمكن إجراء السحب.

6 حمراء و4 بيضاء

$\begin{aligned} C_{3}^{6} \times C_{2}^{4} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} & = 20 \times 6 \\ = 120 طريقة \end{aligned}$

7- مجموعة A تضم 8 لاعبين ومجموعة B تضم 6 لاعبين بكم طريقة يمكن اختيار فريق واحد يضم 3 لاعبين من مجموعة A ولاعبين اثنين من مجموعة B؟

8- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونه من (3) موظفين وموظفتين من بين (8) موظفين وخمسة موظفات؟

8 موظفين و5 موظفات

$\begin{aligned} C_{3}^{8} \times C_{2}^{5} & = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \\ = 56 \times 10 = 560 طريقة \end{aligned}$

9- عدد الطلاب المتفوقين في إحدى المدارس لهذا العام (10) طلاب يراد اختيار (6) منهم ليمثلوا إحدى اللجان في المدرسة ما عدد الطرق الاختيار الممكنة؟

$\begin{aligned} C_{6}^{10} & = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ = 210 طريقة \end{aligned}$

10- صندوق يحتوي على (10) مصابيح (4) منها عاطلة يراد سحب ثلاث مصابيح بشرط أن يكون واحد منها عاطل بكم طريقة يمكن إجراء السحب؟

6 صالحة و4 عاطلة

$C_{2}^{6} \times C_{1}^{4} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 60 طريقة$

11- ما عدد الطرق التي تكون فيها لجنة من (4) أشخاص من بين (10) رجال، (6) نساء على أن تكون اللجنة:

- من جنس واحد.

كل من جنس واحد العملية جمع توافيق أي أن اللجنة إما جميع رجال أو جميع نساء 10 رجال أو 6 نساء

$C_{4}^{10} + C_{4}^{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 + 15 = 225 طريقة$

- اللجنة تحتوي على الأقل على رجل واحد.

كلمة على الأقل تعني تأخذ التوافيق تصاعدياً

- اللجنة تحتوي على الأكثر على رجلين اثنين.

كلمة على الأكثر تعني نأخذ التوافيق تنازلياً

- استبعاد إحدى النساء من اللجنة وتحتوي على ثلاث نساء فقط.

استبعاد إحدى النساء من اللجنة أي يصبح عدد النساء الكلي 5 وتحتوي على ثلاث نساء

$C_{3}^{5} \times C_{1}^{10} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 10 = 10 \times 10 = 100 طريقة$

- استبعاد أحد الرجال من اللجنة وتحتوي على رجلين فقط.

استبعاد أحد الرجال من اللجنة أي يصبح عدد الرجال الكلي 9 وتحتوي على رجلين فقط

$C_{2}^{9} \times C_{2}^{6} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 36 \times 15 = 540 طريقة$

12- جد قيمة n لكل مما يأتي:

- $2 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix})$

- $C_{4}^{n} = 3 P_{2}^{n}$

- $C_{3}^{n} = 2 n - 4$

- $12 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $2 P_{2}^{n} = C_{3}^{n + 1}$

$2 \times n (n - 1) = \frac{(n + 1) n (n - 1)}{3 \times 2 \times 1} ⟹ 2 = \frac{n + 1}{6} ⟹ n + 1 = 12 ⟹ n = 11$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}) = 14 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array})$

- $2 C_{2}^{n + 1} = C_{3}^{n + 2}$

$2 \frac{(n + 1) n}{2 \times 1} = \frac{(n + 2) (n + 1) n}{3 \times 2 \times 1} ⟹ 1 = \frac{n + 2}{6} ⟹ n + 2 = 6 \Rightarrow n = 4$

- $6 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

$6 \times \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \Rightarrow 1 = \frac{n + 1}{24} ⟹ n + 1 = 24 ⟹ n = 23$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

$3 \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{(n + 1) n (n - 1) (n - 2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \Rightarrow 1 = \frac{n + 1}{12} ⟹ n + 1 = 12 ⟹ n = 11$

- $C_{2}^{n} = 55$

- $(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = 10$

ملاحظة:

$C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n}$ نستخدم هذه العلاقة لإيجاد قيمة n وكذلك عندما تكون الأعداد كبيرة.

13- جد قيمة n إذا كان:

- $(\begin{matrix} n \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ 35 \end{matrix})$

$C_{20}^{n} = C_{n - 35}^{n} ⟹ 20 = n - 35 \Rightarrow n = 55$

- $(\begin{matrix} 100 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 100 \\ n \end{matrix})$

$\begin{aligned} C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n} ⟹ C_{30}^{100} = C_{100 - n}^{100} \\ 30 = 100 - n \\ n = 100 - 30 ⟹ n = 70 \end{aligned}$

14- أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

$\begin{aligned} C_{r}^{n} = C_{n - r}^{n} ⟹ C_{3}^{70} = C_{70 - 3}^{70} \\ ∴ C_{3}^{70} = C_{67}^{70} \end{aligned}$

حلول الأسئلة

أثبت أن ( 70 3 ) = ( 70 67 ) ؟

مشاركة الحل

التوافيق

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- C210

- C36

- C25

2- كم قطعة مستقيم يمكن تحديدها بمجموعة من النقاط عددها (10) لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة؟

3- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على خمسة أسئلة من بين سبعة أسئلة؟

4- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على ستة أسئلة من بين ثمانية أسئلة على أن يكون سؤالين من الزوجية الترتيب؟

5- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من (5) طالبات و(7) طلاب من بين مجموعة مكونة من (8) طالبات، (10) طلاب.

6- صندوق يحتوي على (6) كرات حمراء (4) كرات بيضاء يراد سحب (5) كرات بشرط أن تكون (3) كرات حمراء فقط بكم طريقة يمكن إجراء السحب.

7- مجموعة A تضم 8 لاعبين ومجموعة B تضم 6 لاعبين بكم طريقة يمكن اختيار فريق واحد يضم 3 لاعبين من مجموعة A ولاعبين اثنين من مجموعة B؟

8- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونه من (3) موظفين وموظفتين من بين (8) موظفين وخمسة موظفات؟

9- عدد الطلاب المتفوقين في إحدى المدارس لهذا العام (10) طلاب يراد اختيار (6) منهم ليمثلوا إحدى اللجان في المدرسة ما عدد الطرق الاختيار الممكنة؟

10- صندوق يحتوي على (10) مصابيح (4) منها عاطلة يراد سحب ثلاث مصابيح بشرط أن يكون واحد منها عاطل بكم طريقة يمكن إجراء السحب؟

11- ما عدد الطرق التي تكون فيها لجنة من (4) أشخاص من بين (10) رجال، (6) نساء على أن تكون اللجنة:

- من جنس واحد.

- اللجنة تحتوي على الأقل على رجل واحد.

- اللجنة تحتوي على الأكثر على رجلين اثنين.

- استبعاد إحدى النساء من اللجنة وتحتوي على ثلاث نساء فقط.

- استبعاد أحد الرجال من اللجنة وتحتوي على رجلين فقط.

12- جد قيمة n لكل مما يأتي:

- 2(n2)=(n+13)

- C4n=3P2n

- C3n=2n−4

- 12(n3)=(n+14)

- 2P2n=C3n+1

- 3(n4)=14(n2)

- 2C2n+1=C3n+2

- 6(n3)=(n+14)

- 3(n3)=(n+14)

- C2n=55

- (n2)=10

13- جد قيمة n إذا كان:

- (n20)=(n35)

- (10030)=(100n)

14- أثبت أن (703)=(7067)؟

مشاركة الدرس

أثبت أن ( 70 3 ) = ( 70 67 ) ؟

التوافيق

1- جد قيمة كل مما يأتي:

- C210

- C36

- C25

2- كم قطعة مستقيم يمكن تحديدها بمجموعة من النقاط عددها (10) لا تقع ثلاث منها على استقامة واحدة؟

3- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على خمسة أسئلة من بين سبعة أسئلة؟

4- بكم طريقة يمكن أن يجيب الطالب على ستة أسئلة من بين ثمانية أسئلة على أن يكون سؤالين من الزوجية الترتيب؟

5- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونة من (5) طالبات و(7) طلاب من بين مجموعة مكونة من (8) طالبات، (10) طلاب.

6- صندوق يحتوي على (6) كرات حمراء (4) كرات بيضاء يراد سحب (5) كرات بشرط أن تكون (3) كرات حمراء فقط بكم طريقة يمكن إجراء السحب.

7- مجموعة A تضم 8 لاعبين ومجموعة B تضم 6 لاعبين بكم طريقة يمكن اختيار فريق واحد يضم 3 لاعبين من مجموعة A ولاعبين اثنين من مجموعة B؟

8- بكم طريقة يمكن اختيار لجنة مكونه من (3) موظفين وموظفتين من بين (8) موظفين وخمسة موظفات؟

9- عدد الطلاب المتفوقين في إحدى المدارس لهذا العام (10) طلاب يراد اختيار (6) منهم ليمثلوا إحدى اللجان في المدرسة ما عدد الطرق الاختيار الممكنة؟

10- صندوق يحتوي على (10) مصابيح (4) منها عاطلة يراد سحب ثلاث مصابيح بشرط أن يكون واحد منها عاطل بكم طريقة يمكن إجراء السحب؟

11- ما عدد الطرق التي تكون فيها لجنة من (4) أشخاص من بين (10) رجال، (6) نساء على أن تكون اللجنة:

- من جنس واحد.

- اللجنة تحتوي على الأقل على رجل واحد.

- اللجنة تحتوي على الأكثر على رجلين اثنين.

- استبعاد إحدى النساء من اللجنة وتحتوي على ثلاث نساء فقط.

- استبعاد أحد الرجال من اللجنة وتحتوي على رجلين فقط.

12- جد قيمة n لكل مما يأتي:

- 2(n2)=(n+13)

- C4n=3P2n

- C3n=2n−4

- 12(n3)=(n+14)

- 2P2n=C3n+1

- 3(n4)=14(n2)

- 2C2n+1=C3n+2

- 6(n3)=(n+14)

- 3(n3)=(n+14)

- C2n=55

- (n2)=10

13- جد قيمة n إذا كان:

- (n20)=(n35)

- (10030)=(100n)

14- أثبت أن (703)=(7067)؟

أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

- $C_{2}^{10}$

- $C_{3}^{6}$

- $C_{2}^{5}$

- $2 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix})$

- $C_{4}^{n} = 3 P_{2}^{n}$

- $C_{3}^{n} = 2 n - 4$

- $12 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $2 P_{2}^{n} = C_{3}^{n + 1}$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}) = 14 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array})$

- $2 C_{2}^{n + 1} = C_{3}^{n + 2}$

- $6 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $C_{2}^{n} = 55$

- $(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = 10$

- $(\begin{matrix} n \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ 35 \end{matrix})$

- $(\begin{matrix} 100 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 100 \\ n \end{matrix})$

14- أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟

- $C_{2}^{10}$

- $C_{3}^{6}$

- $C_{2}^{5}$

- $2 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix})$

- $C_{4}^{n} = 3 P_{2}^{n}$

- $C_{3}^{n} = 2 n - 4$

- $12 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $2 P_{2}^{n} = C_{3}^{n + 1}$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}) = 14 (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array})$

- $2 C_{2}^{n + 1} = C_{3}^{n + 2}$

- $6 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $3 (\begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ 4 \end{matrix})$

- $C_{2}^{n} = 55$

- $(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) = 10$

- $(\begin{matrix} n \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ 35 \end{matrix})$

- $(\begin{matrix} 100 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 100 \\ n \end{matrix})$

14- أثبت أن $(\begin{matrix} 70 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{l} 70 \\ 67 \end{array})$ ؟